反射の問題

今年の慶應湘南の5番です。


同じ大きさの正方形のます目が措かれた長方形の4つの頂点を、左上から反時計回りに順に(ア)(イ)(ウ)(エ)とする。点Pは(イ)の頂点から出発し、ます目の対角線の方向に直進して、長方形の一辺に突き当たるとき当たると反射して直角に曲がる。

このように点Pが次々と反射しながら進んでいき、長方形の頂点に当たると止まる。出発してから止まるまでに長方形の内側で点Pの通ったあとが交差する位置に○印を付ける。

図1は縦に2個、横に3個のます目が描かれた長方形の場合で、点Pは出発してから3回反射して(ア)の頂点で止まり、○印は1つ付く。

図2のように、縦に7個、横に17個のます目が描かれている場合について調べたところ、すべてのます目を一度ずつ横切ることが分かった。この場合について答えなさい。

(1)止まる位置は(ア)~(エ)のどの頂点ですか。
(2)出発してから止まるまでに何回反射しますか。
(3)○印はいくつ付きますか。


(解説と解答)
(1)まず例の場合で考えてみましょう。2と3ですから互いに素の関係です。
点Pはたて1、よこ1の関係で進みます。互いに素ですから、2×3=6たてにもよこにも進めば頂点に到達します。
たての関係では6÷2=3回動くので奇数回ですから(ア)か(エ)につく。
よこの関係では6÷3=2回動くので偶数回ですから(ア)か(イ)につく。
したがって例では共通の(ア)にもどるのです。

で問題の場合、7と17は互いに素の関係にあります。公約数が存在しません。
まずたてに7進むので当然よこにも7進みます。
互いに素であることから、たてに7×17、よこにも7×17進めば最後に頂点に到達します。
たての関係でいえば、17回動くので奇数回ですから(ア)か(エ)につく。
よこの関係では7回動くので奇数回ですから(ウ)か(エ)につくので、共通は(エ)になります。                        
(答え)エ

(2)例の場合で考えてみましょう。

たてには3回動きました。最後が頂点ですから3-1=2回反射します。

よこには2回動きました。最後が頂点ですから2-1=1回反射します。
したがって合計2+1=3回反射しました。

では問題の場合、
たてには17回動きました。最後が頂点ですから17-1=16回
よこには7回動きました。最後が頂点ですから7-1=6回
16+6=22回反射することになります。          (答え)22回

(3)

例の場合でいえば、○の部分が交差点ですが、破線の○の部分も長さが伸びていれば交差点になります。
ということはイから奇数たてにいくときは、奇数のところに交差点ができ、イからたてに偶数いくときは偶数のところに交差点ができると考えられます。
問題では「すべてのます目を一度ずつ横切ることが分かった」と書いてありますので、これは例外なくそうであったということです。
したがって
たてに奇数すすんだ横列には
1、3、5、7、9、11、13、15の地点に交差点ができるので8個
たてに偶数すすんだ横列には
2、4、6、8、10、12、14、16の地点に交差点ができるので8個

たての奇数は3,5,7 たての偶数は2,4,6ですから結局8×6=48個の交差点ができることになります。                (答え)48個

参考までに下図のようになっているわけです。

まあ、最初からこういう図を描いた子もいるかもしれませんね。

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自由作文と条件作文

慶應湘南の国語の問題には、100字作文が最後につきます。

平成21年の問題でこんなのがありました。

「アイスクリームがおいしいと感じられるのはなぜでしょうか。その理由を、クリームと比較しながら考えて、百字以内で書きなさい。答える際には、同じ理由でよさを感じさせる別のものを挙げながら、あなたの考えを補強すること。」

条件がいくつかついているので、整理してみましょう。

主題:アイスクリームはなぜおいしいと感じられるか
条件1:クリームと比較して、アイスクリームがおいしい理由
条件2:指摘した理由でおいしいと感じるものを例示する

ということです。

なぜ、こう書いたかといえば、これは自由作文といいながら「条件作文」になっているから。つまり、条件が抜け落ちていると得点になりません

ということは、まず趣旨を決めないといけない。作文を書かせると、すぐに書き始める子がほとんどであるが、条件作文を書く場合は、やはりメモからスタートするべきでしょう。

一体何を書くのか。

この問題の場合、まずクリームと比較する、ということからスタートします。

クリームとアイスクリームの違い。 冷たさ、舌触りということが考えられるでしょうが、まあ、多くの子どもたちがたぶん冷たさを選んだでしょう。

アイスクリームはクリームに比べて、冷たいからおいしいと感じる。

これが第一の条件です。

そうすると、次に考えなければいけないのは、それと同じような例。冷たいからおいしいもの。

夏、暑ければお茶は冷たい方がおいしい。あるいはジュースもそうかもしれない。そばも冷たいのが夏はおいしい。

では何を書くか? お茶にしよう、ということでお茶を例示することにします。

とここまでは、考えてメモする。メモは 

1 冷たい 2 お茶

ぐらいで十分です。で、ここから書き始める。

何を書くかは決まっているから、比較的スムーズに進むでしょう。

「何を書くか、まずメモする」

は条件作文では、やった方が良い手法でしょう。

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慶應湘南算数の3番

2009年から3年間、3番はなぜか、規則性の問題になっています。

規則性は、もちろん頻出テーマなのですが、なぜか3番に出てくるようで。

2010年の3番です。


大きさの異なる正方形のカードを、図のようにある規則にしたがってならべる。それぞれのカードには、1cm四方のます目が書いてあり、左上のます目から1、2、3、…と順番に数が書かれている。次の口にあてはまる数を答えなさい。
 なお、「左下のます目の数」とは、1番目のカードでは1、2番目のカードでは7、3番目のカードでは21のことである。

(1)1辺が21cmのカードの「左下のます目の数」は口である。
(2)「左下のます目の数」が1057であるカードは、口番目のカードである。
(3)「左下のます目の数」の1の位の数が3であるカードは、1番目から100番目までの100枚のカードの中に口枚ある。


(1)は21㎝のカードだから1辺に21個ある。それが20回繰り返されてあと1つという位置ですから 21×20+1=421 とわかります。
(答え)421

(2)(1)から考えると1辺にn㎝の「左下のます目の数」というのは n×(n-1)+1=1057  ということになります。
1057-1=1056
でこれを素因数分解すると2×528=2×2×264=2×2×2×132=2×2×2×11×12=2×2×2×2×2×3×11=32×33 なのでn=33

1辺33㎝は 1、3、5・・と並んでいるので (33-1)÷2+1=17番目ということになります。

(答え)17番目

(3)
奇数の1の位は1、3、5、7、9とあり、それより1小さい偶数の1の位は0、2、4、6、8となりますから n×(n-1)の1の位は0、6、0、2、2となって1たすと1、7、1、3、3と繰り返します。

したがって5回に2回でてくるので、

100÷5×2=40枚 あることになります。

書き出してみると、

1、7、21、43、73 、111、157、211、273、343、421…

となるので、繰り返しだなと気が付くかもしれません。

(答え)40枚

ちなみに今年は図形の問題に変わっていました。さすがに3年続くと、変わるのでしょう、きっと。

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神奈川私立中学相談会(4月29日 パシフィコ横浜)

今年も神奈川県私立中学高等学校協会が主催する神奈川私立中学相談会が4月29日パシフィコ横浜で行われます。

チラシ

今年は4月29日は日曜日ですが、ゴールデンウィークでもあり、子どもたち用のイベントもあるようですから、もし時間がとれればお出かけになってみたらよいと思います。

例年慶應の説明会は9月以降なのですが、このイベントには普通部、湘南藤沢ともに参加しますので、学校に直接お尋ねになりたいことなどありましたら、この機会を利用されると良いかと思います。

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慶應義塾湘南藤沢中等部2012最終結果

今年の湘南藤沢中等部の最終結果は以下の通りでした。

志願者数 
一般 男子388名 女子 336名 合計724名
帰国 男子95名  女子  70名 合計165名

一次試験受験者
一般 672名
帰国 148名

一次試験合格者
一般 352名
帰国  65名

二次試験受験者
一般 300名
帰国  61名

最終合格者発表
一般 147名
帰国  40名

補欠打電数
一般 13名
帰国  5名

入学許可数
一般 160名
帰国  45名

入学者数
一般 121名 (男子54名 女子67名)
帰国  41名 (男子22名 女子19名)

二次試験の発表段階で補欠は
一般 30名
帰国  7名
が発表されていましたので、一般は43% 帰国は70%が繰り上がったことになります。

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