速さに関する問題

2022年 慶應湘南藤沢中等部の問題です。

る。三田さんはA町を、藤沢さんはB町を同時に出発して、A町とB町の間を一往復した。
     三田さんの登る速さと下る速さの比は5:9
     藤沢さんの登る速さと下る速さの比は3:5
であり、登りも下りも藤沢さんの方が三田さんより毎分6m速いという。
(1)三田さんの下る速さは分速何mですか。
(2)2人が同時に出発して、最初に出会うのは何分後ですか。
(3)2人が最初に出会ってから、2回目に出会うまでに何分かかりますか。

【解説と解答】
(1)三田さんの下る速さを【9】とすると、藤沢さんの下る速さは【9】+6
一方三田さんの登る速さは【5】となるから、藤沢さんの登る速さは【5】+6
【9】+6:【5】+6=5:3から【25】+30=【27】+18
【2】=12 【1】=6mになるので、三田さんの下る速さは6×9=54
(答え)54m
(2)
藤沢さんが上り、三田さんが下るので、
3240÷(54+6×5+6)=3240÷90=36
(答え)36分後
(3)藤沢さんが上り終わるのは3240÷36=90分後
三田さんが下り終わるのは3240÷54=60分後
藤沢さんがおり始めるとき、三田さんは30分上っているので、
30×30=900m上っているから二人の間の距離は3240―900=2340m
2340÷(60+30)=26分後に2回目に出会うので、最初からは90+26=116分後になるので116-36=80分
(答え)80分

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慶應湘南の算数

湘南は3校の中で算数の問題が一番少なくなります。

おおむね大問6題。最初の2題は一行問題や計算が小問に分かれている場合が多く、3番と4番は標準的な応用問題。5番、6番が発展した問題と位置づけることができます。

湘南の場合、帰国子女も同じ問題を解くので、あまりに難しい問題ばかりを並べると差がつかなくなる。一方でやさしい問題ばかりを並べると一般生の差がつかなくなる。

ということでこういう構成になってきたのではないかと思っています。

帰国の生徒の場合はだから4番までをまず正確に解くことを考えさせます。5番、6番は前半の1問、ないし2問が解ければよし、と考える。

一方、一般の場合は4番まではノーミスでいってほしい。5番、6番が半分はできて合格ラインかな、というイメージを持っています。

したがって帰国か一般かで対策は多少違います。

帰国生の場合は4番までがひとつの目標だから、あまり難しい問題はやらない。むしろ一行問題や基本問題を徹底的にやり、そこから中堅の男子受験校ぐらいの問題が解けるように練習します。

一方、一般の場合は4番まではとにかく正確にノーミスでこなければいけないから、その部分は帰国と同じですが、さらに発展して応用レベルの問題まで練習をする必要があります。

で、夏休みまでは特にこの難しい問題の対策を考える。逆の順番をイメージされるかもしれませんが、難しい問題を考えるためには時間が必要なのです。そして、難しい問題を解くためには当然、基本がわかっていないといけないわけで、難しい問題をじっくり考える、ということは基本も確認できる。ただ、時間がかかる分だけなるべく早めに練習をしたいのです。

そして後半はむしろミスなく、確実に解く練習をしていく。さらに言えば、自分ができる問題を見分けて、時間内になるべく多くの点数をとるというような練習をします。

だから夏休みまでは、難しい問題に挑戦してください。といっても、全部の問題ができるわけではないでしょう。1問15分考えてだめなら、そこで解説を読んで、解き方を理解することです。なぜ、こうなるのか?解説を読み解いてください。そしてできればもう一度自分で答えを出してみる。

「なるほど、こう解くのか。」とわかれば一問終了です。

一問をここまで終わるのに結構時間がかかりますが、これは絶対にかけてください。たくさんの問題を解いてもこの時間が少なければ力はつきません。本人がどのくらい納得いったかが、大事なのであって、解いた問題数が多ければ良いというものではありません。あわてずにじっくり取り組んでください。

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速さに関する問題

2022年 慶應普通部の問題です。

P地点からQ地点へ行くとき、A君は秒速2m、B君は秒速3mで走り、C君は自転車で秒速5mで進みました。はじめ、A君、B君が同時にP地点を出発し、しばらくしてからC君がP地点を出発しました。C君はA君を追い抜いてからB君を追い抜くまで4分間かかり、B君を追い抜いてから1分後にQ地点に着きました。P地点からQ地点までの道のりは何mですか。

【解説と解答】
C君がA君を追い抜いたときからB君を追い抜くまでに4分です。
C君がA君を追い抜いたとき、B君はA君の前を(5-3)×240=480m先に進んでいたので、A君とB君の秒速の差が1mですから、480÷1=480秒で、C君がA君を追い抜いたのはA君とB君が出発してから480秒後になります。したがってB君がC君に抜かれたのはPから3×(480+240)=2160mのところで、そこからC君は1分でQについたのだから、PQ間は2160+5×60=2460mになります。

(答え)2460m

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平面図形に関する問題

2022年慶應湘南藤沢中等部の問題です。

次の図は、たて24 cm、 横32 cm、 対角線の長さが40cmの長方形ABCDである。また、BDを直径とする半円を図のようにかくと点Cは半円上にある。このとき、次の問いに答えなさい。ただし、円周率は3.14とする。
(1)かげのついた部分の周りの長さを求めなさい。
(2)かげのついた部分の面積を求めなさい。
(3)長方形ABCDをBDを折り目として折り返したとき、頂点Cの移る点をE、BEとADの交点をFとする。このとき、三角形BDFの面積を求めなさい。

【解説と解答】

(1)40×3.14÷2+24+32=62.8+56=118.8
(答え)118.8cm
(2)20×20×3.14÷2-24×32÷2
=628-384=244
(答え)244cm2
(3)三角形ABFと三角形EFDは合同の直角三角形です。
三角形FBDはFB=FDの二等辺三角形になるので、FからBDに垂線を下した線とBDの交点をOとするとBO=ODとなり、三角形BFOは直角三角形。
ここで角FBOと角DBCが等しいので、三角形FBOと三角形BDCが相似。
BO=20cmからFO=20×24/32=15cmになるので、
三角形FBD=40×15÷2=300
(答え)300cm2

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速さに関する問題

2022年慶應普通部の問題です。

点Oを中心として円周の長さが480 cm と360 cm の2つの円があります。大きい円の周上に点Pがあり、時計回りに毎秒6cmで円の周上を動きます。小さい円の周上に点Qがあり、時計回りに毎秒2cmで円の周上を動きます。右の図のように、はじめ、点P、0、Qは一直線上に並び、点PとQは同時に出発しました。半径OPとOQのつくる角の大きさがはじめて30°になるのは、点P、Qが出発してから何秒後ですか。

【解説と解答】
角速度で考えると、Pは毎秒360÷(480÷6)=4.5°になり、
Qは毎秒360÷(360÷2)=2°になるから、Pの方が速くなります。
最初180°開いていた角度が毎秒2.5度ずつ減っていきますから、
(180-30)÷(4.5-2)=60秒
(答え)60秒

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