2025年　慶應義塾湘南藤沢中等部　算数3です。

図のような一辺10mの正方形の柵がある。柵にはＡを中心に内側にのみ開く戸が１つあり、Ｂの位置には一頭の羊がロープでつながれている。ロープの長さは１ｍから10mの間で固定することができる。戸や柵の厚さ、および羊の大きさは考えないものとし、羊の位置はロープの端と考える。円周率は3.14として、以下の問いに答えなさい。
（１）戸が閉まっている状態から、図のように内側に全開になるまでの、戸が開いた角度を求めなさい。

（２）戸が図のように内側に全開の状態で、ロープの長さを10mで固定したときの、羊の動ける範囲の面積を求めなさい。

（３）戸が閉まっている状態で、羊が動ける範囲の周囲の長さ（直線の部分も含む）を測ったところ、46.4mであった。このとき、ロープの長さを何ｍに固定しましたか。

【解説と解答】

（1）三角形ACDでAD＝6ｍ、AC＝3ｍですから、三角形ＡＣDは正三角形の半分の直角三角形になるので、角DAC＝60°から、戸が開いた角度は180―60＝120°
（答え）120°

（２）下図のように動くことができます。

Bが中心でBE＝BF＝10m
BJ＝6m、EJ＝IJ＝4ｍ
FC＝GC＝6ｍ
AG＝AH＝3mで角GAHは120°ですから、
10×10×3.14×1/2
＋（6×6＋4×4）×3.14×1/4
＋3×3×3.14×1/3
＝（50＋13＋3）×3.14
＝66×3.14＝207.24

（答え）207.24m2

（3）ロープの長さを【1】とすると羊が動ける範囲の周りの長さは
【2】×3.14×1/2＋（【1】－4）×2×3.14×1/4＋（【1】－6）×2×3.14×1/4＋10＋【1】－4＋【1】－6
＝（【1】＋【0.5】－2＋【0.5】－3）×3.14＋10＋【1】－4＋【1】－6
＝（【2】－5）×3.14＋【2】＝
【8.28】－15.7＝46.4
（46.4＋15.7）÷8.28＝7.5

（答え）7.5m

2025年　慶應義塾普通部　算数8です。

1辺が20cmの立方体がいくつかあります。
（1）図１のように、平らな机の上にこの立方体を４つ並べて立体をつくります。１つの立方体の上の面に対角線を２本ひき、交わる点をＰとします。点Ｐの真上40cmのところに電球をつるして照らします。机にできる立体の影の面積は何cm２ですか。図２は図１を真上から見た図です。
（2）図３のように、平らな机の上にこの立方体を５つ組み合わせて立体をつくります。上に積んだ立方体の上の面に対角線を２本ひき、交わる点をＱとします。点Ｑの真上20cmのところに電球をつるして照らします。机にできる立体の影の面積は何cm２ですか。

【解説と解答】
（1）図4のように横から見ると
三角形ADEと三角形ABCの相似から、DE：BC＝2：3になるので、影の面積は、立方体4個の底面積の
(3×1)/(2×2)―1＝5/4倍になるので、
40×40×5/4＝2000cm2

（答え）2000cm2

（２）図5のようになります。緑色の部分は立方体の表面積。黄色い部分は上段の1個の立方体による影ですが、1辺が40cmの正方形部分は下まで届きません.一方青い部分は下の段の4つの立方体の影ですが、これは1辺が45cmの正方形の分だけ黄色と緑色の部分に重なります。したがって影は
60×60－40×40＋60×60－45×45
＝7200－1600－2025
＝7200－3625＝3575
（答え）3575ｃｍ2

2025年　慶應義塾普通部　算数7です。

4桁の整数について、上2桁と下2桁の和を考えます。たとえば、1234を上2桁と下2桁に分けると12と34で、その和は46です。
(1)2024から、2024の上2桁と下2桁の和である44をひいた数を、2つの整数の積で表します。2つの整数の差が最も小さいのは、いくつといくつの積ですか。
(2)2025は、2025の上2桁と下2桁の和である45でわり切れます。 2100未満の整数で、このようにもとの4桁の整数が、その整数の上2桁と下2桁の和でわり切れる数のうち、2番目に大きい整数はいくつですか。

【解説と解答】
（1）
2024―44＝1980で、これを素因数分解すると
2×2×3×3×5×11です。
36×55、44×45となるので、一番差が少ないのは44と45です。

（答え）44、45
（２）2099以下の数で、この数を2000＋AとしてAは2桁の整数と考えます。これが20＋Aで割り切れることになるので、
2000＋A－（20＋A）＝1980も20＋Aで割り切れることになります。
1980を素因数分解すると2×2×3×3×5×11で、20＋AはAが2桁の整数ですから119が最大です。

したがって最大は2×5×10＝110
2090÷（20＋90）＝19

1980＝110×18＝99×20ですから、次は11×9＝99
2079÷（20＋79）＝2079÷99＝21
（答え）2079

【解説動画】

（1）は（2）の伏線になっているところがあり、1980に気がつけるかがひとつのポイントでした。

2025年慶應義塾普通部　算数６です。

太郎君と次郎君がA地とB地を往復しました。下のグラフは、太郎君がA地とB地を往復したようすを表しています。次郎君は9時にB地を出発し、50分後にA地に着きました。A地で15分休んだ後、行きの2/3倍の速さでB地にもどりました。

（1） 次郎君がB地とA地を往復したようすを、解答用紙のグラフにかきいれなさい。
（2） 2人が1回目に出会った場所と2回目に出会った場所が1680 m 離れていたとき、A地とB地の間の道のりは何mですか。

【解説と解答】

（1）グラフは1目盛りが5分です。9時に出発して9時50分につき、15分休んだあと、2/3の速さで戻ると、1.5倍の時間がかかるので、50×1.5＝75分後に到着するから、
10時5分に出発して、11時20分に到着します。したがってグラフは以下の通りです。

（2）グラフから太郎君は9時20分にＡ地を出発して10時20分にB地につき、30分休んで10時50分にB地を出発、Ａ地に11時35分に到着しています。

PB＝80分　ＡＱ＝30分からＡＭ：ＭＢ＝3：8
CS＝30分　ＲＤ＝90分からＣＮ：ＮＤ＝1：3
したがってＭＮ間はＡＢ間の3/4－3/11＝(33-12)/44＝21/44＝1680ｍ
ＡＢ間は1680÷21/44＝3520ｍ

（答え）3520ｍ

【解説動画】

2025年　慶應義塾普通部　算数5です。

濃さが6%の食塩水200gと、濃さが12%の食塩水300gを同じ容器にいれました。ただし、食塩水の濃さとは、食塩水の重さをもとにした食塩の重さの割合のことをいいます。
(1)この容器に入っている食塩水の濃さは何%ですか。
(2)この容器から水を蒸発させました。ここに、濃さが15%の食塩水を、蒸発させた水の重さと同じ重さだけ加えました。さらに水を加えたところ、食塩水の濃さは水を蒸発させる前と同じになりました。この容器に加えた、濃さが15%の食塩水の重さと水の重さの比を最も簡単な整数の比で求めなさい。

【解説と解答】
（１）200×0.06＝12g　300×0.12＝36g
　（12＋36）÷（200＋300）×100＝9.6

（答え）9.6％
（２） 500gの中に食塩が48g入っています。
蒸発させた水の重さを【100】とすると、15％の食塩水も【100】で、その中に【15】の食塩が入っています。
食塩：48＋【15】
これが9.6％になるためには食塩水全体では500＋【156.25】必要ですが、
15％の食塩水を入れた段階でまだ全体は500gですから、【156.25】不足しています。
したがって15％の水の量：新しく入れた水の量は
100：156.25＝400：625＝16：25

（答え）16：25

2025年　慶應義塾普通部の4番です。

すべて正方形に整備された道路を、A地点からB地点まで道のりが最も短くなるようにいきます。
（１）図１のような道路があります。行き方は何通りありますか。
（２）図２のように、CD間、EF間を通行止めにし、さらに新たに斜めの道路を4本つくりました。行き方は何通りありますか。

【解説と解答】
（１）
図のように、各交点で下からと左からの数字を足していきます。

AからBまでの行き方は126通りです。
（答え）126通り

（２）斜めの道があるので、これが必ずたてよこ２本の道よりも短くなります。
斜めの道を便宜上【0.６】の距離、正方形の1辺を【1】と考えると、途中ＡからＰまでは【2.6】で、ＰからＢまでは【3.6】で、ＤからＢまでは【4.6】で行く道を考えることになります。すると左の図のようになるので、合計15通りです。

（答え）15通り

2025年慶應義塾中等部　算数6です・

ある整数aを２回かけた数を平方数といい、a²と表します。例えば、３×３は32と表します。次の□にあてはまる数を答えなさい。

（１）3²＋5²＋11²十口²＝2964

（2）ある整数を、３つの平方数の和で表すことを考えます。例えば、４や14は、4＝0²十0²十2²、14＝1²＋2²＋3²のように、３つの平方数の和で表すことができます。１から100までの整数のうち、３つの平方数の和で表すことができない整数は、全部で□個あります。

【解説と解答】
（１）3²＋5²＋11²十口²＝９＋25＋121＋□²＝2964
2964-(9＋25＋121)＝2809
1の位が9なので、1の位は3×3か7×7です。
2800以上なので、50×50＝2500よりは大きいので、
53×53＝2809があてはまります。

（答え）53

（２）0、1、4、9、16、25、36、64、81、100を3つ組み合わせることを考えます。
0＝0＋0＋0、 1＝0＋0＋1、 2＝0＋1＋1、 3＝1＋1＋1、
4＝0＋0＋4、 5＝0＋1＋4、 6＝1＋1＋4、 7＝×
8＝0＋4＋4、 9＝0＋0＋9、 10＝0＋1＋9、 11＝1＋1＋9
12＝4＋4＋4、 13＝0＋4＋9、 14＝1＋4＋9、 15＝×、
16＝0＋0＋16、 17＝0＋1＋16、 18＝0＋9＋9、 19＝1＋9＋9、
20＝0＋4＋16、 21＝1＋4＋16、 22＝4＋9＋9、 23＝×、
24＝4＋4＋16、 25＝0＋0＋25、 26＝0＋1＋25、 27＝1＋1＋25＝9＋9＋9、
28＝×、 29＝0＋4＋25、 30＝1＋4＋25、 31＝×、

となるので、8の倍数より1小さい数はあてはまりますから、
7、15、23、31、39、47、55、63、71、79、87、95
最後は95なので(95-7)÷8＋1＝12個

しかし28はこの規則にあてはまりません。
で、28は7×4です。63もできないので、7×9ができません。
ということはできない数に平方数をかけた数はできないのではないかと考えられます。
そうすると15×4＝60、23×4＝92が増えます。
28、60、92が増えるので、12＋3＝15個
ちなみにできるものの平方数倍はやはりできます。
例えば3＝1＋1＋1ですが4倍した12＝4＋4＋4、9倍した27は
27＝9＋9＋9となります。

(答え)15個

ある地区の中学校の生徒を対象とした英語スピーチ大会がありました。各中学校から3人の生徒が参加しました。ある中学校からA、B、Cが出場したところ、次のような結果になりました。
A「わたしの順位は34位でした。」
B「わたしは参加者全員のちょうど真ん中の順位でした。」
C「わたしはBより下の順位で、23位でした。」
この大会で同じ順位の人はいませんでした。何校の中学校がこの大会に参加しましたか。

【解説と解答】
Aの話から、34人以上の生徒がいました。
Bの話から、参加した生徒の数は奇数でした。Bはちょうど真ん中の位置にいるので、例えば41人ですと21番目ですが、40人ですと真ん中になれません。
Cの話から、Bは23位よりは上でした。ここから
Bは22位の場合は21×２＋１＝43人ですから、全体の人数は43人以下です。
Aの話から、34人以上43人以下ですから、奇数なので
35、37、39、41、43の５つが考えられます。
で、各中学校から3人ずつ出ているので、生徒の数は３の倍数になるから39人しかありません。
求めるのは中学校の数ですから39÷３＝13校

（答え）13校

2024年慶應義塾中等部　算数4です。

ある規則にしたがって、以下のように分数を並べました。

　・　　・　　・　　・　　・　　・　　・　・・・

（１）ははじめから数えて何番目の数ですか。
（２）はじめから数えて50番目から60番目までの分数をすべて加えるといくつになりますか。

【解説と解答】
（１）分母は2の倍数、分子は奇数で小さい順に並び、分母より大きくならずに次に進みます。
分母は2、4、8、16、32、64とすすみ、それぞれ
１、２、4、8、16と分子があるので分母が32まで31個。
31は（31－１）÷２＋１＝16番目ですから、31＋16＝47番目
（答え）47番目

（２）初めから50番目は（１）から
48番目が、49番目が、となり50番目はです。
60番目は分子に2×10が加わるのでです。
11個あるので、（37＋57）×11÷２＝517だから
＝8
（答え）8