規則性の問題

パスカルの三角形という規則性があります。

高校に行けば二項定理で、使う数ですね。

(x+y)の二乗はx2+2xy+y2 と展開できますが、その係数は1、2、1となります。
三乗であれば1、3、3、1 4乗であれば1、4、6、4、1
となるのですが、この並びにはある規則があり、これをパスカルの三角形と呼びます。

この規則が比較的良く出題されます。

以下は平成17年の中等部の問題。

図のように、あるきまりにしたがって1段目から12段目まで数を並べます。次の問いに応えなさい。

(1)Aに入る数は(   )で、Bに入る数は(  )です。
(2)12段目に入るすべての数の和は(    )です。


(1)

規則は簡単で、上の2つの数の和になっているということです。
例えば4段目の3は上の1と2が加わっている。

それがわかれば全部埋めていけばいいということになるわけですが、AとBを求めればいいので、それがわかるところだけ入れていきましょう。

ということになるので、

Aは36 Bは210です。

(2)

各段の和にも規則があります。
1→2→4→8→16・・・

n段目の和は2を(n-1)回掛け合わせたものになっています。

したがって12段目は2048になります。

これはその場で出してもいいが、知識としてしっていて良い問題でしょう。

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自信をつける源
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慶應にするか、早稲田にするか

中学受験の場合、慶應にするか、早稲田にするか、という選択に関して言うと、家族がどちらの学校を身近に感じているか、ということが一番の理由のように思います。

慶應でも早稲田でもそれはあまり変わりがない。つまり、自然にどちらかに分かれてくるケースが多いのです。

「親戚の子が慶應で」
「私が早稲田なので」(お父さんの発言)

まあ、そういうきっかけが多いだろうと思います。ところがある早稲田大学の先生のお子さんが慶應を受験する、ということになった。たまたまお父さんが面談に来られたので

「どうして、早稲田ではないのですか?」

とつい、聞いてしまいました。

「私は研究者で、慶應の先生や学生とも付き合いがあるのですが、うちの子には慶應が合っていそうな感じがするのです。いや、早稲田が悪いというわけではありません。これは親の直観みたいなもので。」

なるほど、と思いました。

どちらも良い学校だと思うので、これはご家庭の選択にいつも従っています。ただ、早稲田の受験日は、悩ましい。

1日に早稲田高等学院も早稲田実業も早稲田中学も並ぶ。男子はどれかを選ばなければならないのです。

慶應だと1日が普通部、2日が湘南、3日か中等部とまあ、慶應の中で選ばなくてもいい。しかも湘南以外は高校を改めて選択します。

しかし早稲田は1日を選ばないといけない。その分、同じ早稲田でも「僕は早稲田中学がいい」と選んでいるので、帰属意識は学校に対して強くなります。

慶應は3つのうち、どれかに入ればいい、みたいな気持ちが多少働くが、早稲田の男の子は最初からそれを選んでいる分、自分の学校に対する思い入れは強いかもしれませんね。

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平面図形の問題
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紙飛行機の問題

慶應の理科の問題は、出題がかなり工夫されています。

以下は平成20年、普通部の問題。

図1のように、正方形の折り紙を使って紙飛行機を作りました。

1.室内でこの紙飛行機を手で飛ばすと、飛び方は図2の(A)のようになりました。(B)のように紙飛行機を飛ばすには、クリップを胴体部分のどこにつけるとよいですか。図3の(ア)~(ウ)から1つ選び、記号で答えなさい。

2.1.でつけたクリップは、(B)のように飛ぶ紙飛行機にとってどのような力になりますか。次の(カ)~(ケ)から1つ選び、記号で答えなさい。

カ)上に引く力 (キ)下に引く力 (ク)前に引く力 (ケ)後ろに引く力

3.図1の紙飛行機の翼を図4のように折って、図2の(B)のように飛ぶ位置にクリップをつけました。折らなかったときに比べて、飛び方はどのようになりますか。次の(サ)~(セ)から1つ選び、記号で答えなさい。

 (サ)上がる (シ)飛ばない (ス)曲がる (セ)変わらない


これは何のテーマか?といえば、やはり物体の運動になるのでしょうが、しかし、まあ、それだけでは解決しない部分もあるでしょう。しかし、実際に紙飛行機を飛ばした経験があり、多少、これまでも理科を勉強してくれば、まあ、見当はつくだろうな、とは思います。

つまり、ここで普通部は単純に理科の知識を持っている、というよりは、それをどう利用し、どうものを考えるのか、ということを試しているわけで、それがある意味「異質の問題」のように感じられる部分ではあるのです。

さて解説ですが、紙飛行機がAのように飛んだのは、機体を持ち上げようとする揚力の中心の位置が前の方にあって、それがすぐ上昇して落ちるという形になったのだから、飛行機の重心を前に持って来ればよい、と考えれば、クリップは前につければよいということになるでしょう。

(1)(答え)ア

これはクリップが当然下向きの力であるからです。

(2)(答え)キ

さて翼を折ってたてているので、そこに空気があたり、折られていない翼とは違う力かかります。したがって曲がる。まあ、これは経験的に知っている子どもたちの方が多いでしょう。

(3)(答え)ス

この年はカレーライスの出題があった年で、かなり出題に工夫がみられていたと思います。

子どもが遊ぶことは、勉強と相反することではなく、そこからまたいろいろな発見や経験があるわけで、そういうことに気を使ってほしいというメッセージが込められているように感じられる出題でした。

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塾のサービス過剰に注意
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容積の問題

慶應湘南2009年の問題

下の図のように、動くしきり(かげのついた部分)によって左右2つの直方体に分けられた容器の中に、水面の高さが同じになるように水を入れた。しきりを容器の左右の側面と平行にしたまま右方向に9cm動かしたところ、右側の水面の高さは、しきりを動かす前の水面の高さより7.2cm上がり、左側の水面の高さは、しきりを動かす前の水面の高さの半分になった。このときの、左右の水面の高さの差は11.2cmとなった。
左右の水の量はしきりを動かしても変化しない。またしきりの厚さは考えないものとして、以下の問いに答えなさい。

(1)(あ)の長さ(しきりを動かす前の水面の高さ)を求めなさい。
(2)(い)の長さ(しきりを動かす前の左側の容器のはば)を求めなさい。
(3)容器の中の水全体の体積を求めなさい。


【解説と解答】
(1)
(あ)の高さを【2】とすると左側は動かした後に【1】になった。右側は【2】+7.2になった。
その差が11.2cmなので
【2】+7.2-【1】=11.2 【1】=4cm 【2】=8cm

(答え)8㎝

(2)左側はたて8cmがたて4㎝になったのだから、よこは2倍にならなければならない。
それが9㎝ふえたことで、2倍になったのだからもとの長さはcm
(答え)9cm

(3)左側は8×9×16=1152㎝3の水が入っていたことになります。
右側の最初の高さは8cm、右に9cm動いたところで高さが15.2cmになったので、最初のよこの長さを【1】とすると
【1】×8=(【1】-9)×15.2
という式になります。

8:15.2=40:76=10:19ですから
【1】:【1】-9=19:10
19-10=9の部分が9㎝になるので【1】=9÷9×19=19㎝
最初に右側に入っていた体積は
19×8×16=2432
したがって合計
1152+2432=3584㎝3

となります。

それほど難しい問題ではありません。最初に右側の高さが半分になった、ということに注目すれば良い問題ですが、こういう問題を落とさないように、ていねいに解いていきましょう。

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一行問題習得は大事なステップ
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神奈川全私学展

7月16日(月曜日祝日)に神奈川全私学展が開催されます。

このイベントに慶應普通部、慶應湘南藤沢中等部も参加します。

会場はパシフィコ横浜。事前申し込みは不要です。

イベントちらし

昨年の様子については以下のページで紹介されています。

2011全私学展

各校の部活動の様子や制服などの展示も行われます。夏休みのモチベーションアップにいかがでしょうか。

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次号は6月25日正午ごろ配信します。

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