規則性の問題

2011年慶應湘南の問題です。


下の図のように、黒いタイルと白いタイルを順番に並べて山を作っていく。

(1)6番目の山にふくまれる白いタイルの枚数を求めなさい。
(2)ある山にふくまれる白いタイルと黒いタイルの枚数の差が21枚であるとき、その山の一番下の段にあるタイルの枚数を求めなさい。
(3)となり合う2つの山のタイルの枚数が合わせて2113枚のとき、その2つの山にふくまれる白いタイルの枚数の合計を求めなさい。


各段のタイルの数は奇数です。1→3→5・・・と増えていきます。
一番上は奇数番目が黒。偶数番目は白です。番号+1段の数があります。

(1)6番目は1番上が白 7段ですから
白は1+5+9+13=28枚あります。 
(答え)28枚

(2)一番上が1ですから次の同じ色の段は4増えて5、2番目は3ですから、次の同じ色の段は4増えて7、という規則になります。
1→5→9→13→17→21→25→29→33→37→41
3→7→11→15→19→23→27→31→35→39
偶数段で終われば必ず偶数の差が出ますが、差が21枚なので、奇数段で終わっていることがわかります。奇数段の①番目で終わるとすると、最後の奇数段は1+4×(①-1)枚になりますが、それまでの間2×(①-1)枚相手の色の数が上回っていますので、この差が21枚。 1+4×(①-1)―2×(①-1)=21 2×(①-1)=20ですから①=11 したがって最後の枚数は1+4×(11-1)=41枚
(答え)41枚

(3)1番目と2番目で合計黒は4枚 白は9枚
   2番目と3番目で合計黒は9枚 白は16枚
   3番目と4番目で合計黒は16枚 白は25枚
というようにそれぞれの色のタイルの数の合計は1違いの整数の平方数になっています。
2113の半分はおよそ1100ですから 33×33=1089が近いので
32×32+33×33=1024+1089=2113枚になります。
最後は必ず白なので白は1089枚です。   
(答え)1089枚

「映像教材、これでわかる数の問題」(田中貴)

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