数の性質に関する問題

2016年普通部算数7番です。


2以上10以下の整数A、Bについて、\frac{1}{A}\frac{1}{B}を計算すると\frac{1}{C}になるようなものを考えます。Cは整数です。

① Cが最も小さくなるようなA、Bを求めなさい。
② Aが6以上のとき、考えられる\frac{1}{C}の合計を求めなさい。


【解説と解答】
①Aが2以上の数なので、\frac{1}{C}\frac{1}{3}が最大になるから、Cは3が最小になります。
A=2のとき、\frac{1}{2}\frac{1}{3}=\frac{1}{6}からA=2 B=6のとき、Cが最小になります。
(答え)A=2、B=6


A=6のとき、Bは7以上10以下ですから、\frac{1}{A}\frac{1}{B}\frac{1}{C}が成り立つ(A、B、C)は
(6、7、42)(6、8、24)(6、9、18)(6、10、15)
以下A=7、A=8、A=9まで考えると
(7、8、56)
(8、9、72) (8、10、40)
(9、10、90)
になります。
\frac{1}{C}の合計は
\frac{1}{6}\frac{1}{7}\frac{1}{7}\frac{1}{8}\frac{1}{8}\frac{1}{9}
\frac{1}{9}\frac{1}{10}=\frac{1}{6}\frac{1}{10}\frac{1}{15}
\frac{1}{6}\frac{1}{8}\frac{1}{8}\frac{1}{10}\frac{1}{6}\frac{1}{10}\frac{1}{15}
\frac{1}{15}×3+\frac{1}{18}\frac{23}{90}

(答え)\frac{23}{90}


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