数の性質に関する問題

2016年普通部算数7番です。


2以上10以下の整数A、Bについて、$$\frac{1}{A}$$-$$\frac{1}{B}$$を計算すると$$\frac{1}{C}$$になるようなものを考えます。Cは整数です。

① Cが最も小さくなるようなA、Bを求めなさい。
② Aが6以上のとき、考えられる$$\frac{1}{C}$$の合計を求めなさい。


【解説と解答】
①Aが2以上の数なので、$$\frac{1}{C}$$は$$\frac{1}{3}$$が最大になるから、Cは3が最小になります。
A=2のとき、$$\frac{1}{2}$$-$$\frac{1}{3}$$=$$\frac{1}{6}$$からA=2 B=6のとき、Cが最小になります。
(答え)A=2、B=6


A=6のとき、Bは7以上10以下ですから、$$\frac{1}{A}$$-$$\frac{1}{B}$$=$$\frac{1}{C}$$が成り立つ(A、B、C)は
(6、7、42)(6、8、24)(6、9、18)(6、10、15)
以下A=7、A=8、A=9まで考えると
(7、8、56)
(8、9、72) (8、10、40)
(9、10、90)
になります。
$$\frac{1}{C}$$の合計は
$$\frac{1}{6}$$-$$\frac{1}{7}$$+$$\frac{1}{7}$$-$$\frac{1}{8}$$+$$\frac{1}{8}$$-$$\frac{1}{9}$$
+$$\frac{1}{9}$$-$$\frac{1}{10}$$=$$\frac{1}{6}$$-$$\frac{1}{10}$$=$$\frac{1}{15}$$
$$\frac{1}{6}$$-$$\frac{1}{8}$$+$$\frac{1}{8}$$-$$\frac{1}{10}$$=$$\frac{1}{6}$$-$$\frac{1}{10}$$=$$\frac{1}{15}$$
$$\frac{1}{15}$$×3+$$\frac{1}{18}$$=$$\frac{23}{90}$$

(答え)$$\frac{23}{90}$$


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