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規則性に関する問題

2024年慶應義塾中等部　算数4番です。

ある規則にしたがって、以下のように分数を並べました。

    \[ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{5}{8}, \frac{7}{8}, \frac{1}{16}, … \]

（１）\frac{31}{64}ははじめから数えて何番目の数ですか。

（２）はじめから数えて50番目から60番目までの分数をすべて加えるといくつになりますか。

【解説と解答】
（１）分母は2の倍数、分子は奇数で小さい順に並び、分母より大きくならずに次に進みます。
分母は2、4、8、16、32、64とすすみ、それぞれ
１、２、4、8、16と分子があるので分母が32まで31個。
31は（31－１）÷２＋１＝16番目ですから、31＋16＝47番目
（答え）47番目

（２）初めから50番目は（１）から

48番目が\frac{33}{64}、49番目が\frac{35}{64}、となり50番目は\frac{37}{64}です。
60番目は分子に2×10が加わるので\frac{57}{64}です。
11個あるので、（37＋57）×11÷２＝517だから
\frac{517}{64}＝8\frac{5}{64}
（答え）8\frac{5}{64}