2025年慶應義塾中等部 算数6です・
ある整数aを２回かけた数を平方数といい、a2と表します。例えば、３×３は32と表します。次の□にあてはまる数を答えなさい。
（１）32＋52＋112十口2＝2964
（2）ある整数を、３つの平方数の和で表すことを考えます。例えば、４や14は、4＝02十02十22、14＝12＋22＋32のように、３つの平方数の和で表すことができます。１から100までの整数のうち、３つの平方数の和で表すことができない整数は、全部で□個あります。
【解説と解答】
（１）32＋52＋112十口2＝９＋25＋121＋□2＝2964
2964-(9＋25＋121)＝2809
1の位が9なので、1の位は3×3か7×7です。
2800以上なので、50×50＝2500よりは大きいので、
53×53＝2809があてはまります。
（答え）53
（２）0、1、4、9、16、25、36、64、81、100を3つ組み合わせることを考えます。
0＝0＋0＋0、 1＝0＋0＋1、 2＝0＋1＋1、 3＝1＋1＋1、
4＝0＋0＋4、 5＝0＋1＋4、 6＝1＋1＋4、 7＝×
8＝0＋4＋4、 9＝0＋0＋9、 10＝0＋1＋9、 11＝1＋1＋9
12＝4＋4＋4、 13＝0＋4＋9、 14＝1＋4＋9、 15＝×、
16＝0＋0＋16、 17＝0＋1＋16、 18＝0＋9＋9、 19＝1＋9＋9、
20＝0＋4＋16、 21＝1＋4＋16、 22＝4＋9＋9、 23＝×、
24＝4＋4＋16、 25＝0＋0＋25、 26＝0＋1＋25、 27＝1＋1＋25＝9＋9＋9、
28＝×、 29＝0＋4＋25、 30＝1＋4＋25、 31＝×、
となるので、8の倍数より1小さい数はあてはまりますから、
7、15、23、31、39、47、55、63、71、79、87、95
最後は95なので(95-7)÷8＋1＝12個
しかし28はこの規則にあてはまりません。
で、28は7×4です。63もできないので、7×9ができません。
ということはできない数に平方数をかけた数はできないのではないかと考えられます。
そうすると15×4＝60、23×4＝92が増えます。
28、60、92が増えるので、12＋3＝15個
ちなみにできるものの平方数倍はやはりできます。
例えば3＝1＋1＋1ですが4倍した12＝4＋4＋4、9倍した27は
27＝9＋9＋9となります。
(答え)15個