2015年慶應湘南の問題です。
図のように、点0を中心とする円の中と外に正六角形がある。かげのついた部分の面積が90cm2のとき、三角形ABCの面積を求めなさい。

【解説と解答】

三角形ABCの面積は、正三角形AODの6分の1であることがわかります。正三角形AODは正三角形OHGと同じです。

正三角形OHGとと正三角形EFOの差が90÷6＝15cm2であることから、正三角形HGOの面積を出し、それを6で割れば答えが出るという問題です。

で、中学3年生であればGP=1 GO＝OQ＝2　OP＝ $$\sqrt{3} $$だから面積比は2×2： $$\sqrt{3} $$× $$\sqrt{3} $$＝4：3ということで、正三角形GHOの面積は台形EFGHの3倍だと分かるから、15×3÷6＝7.5cm2と出すわけですが、小学生なのでそれは無理です。

で、QからFOに垂線を引いて、その交点をRとすると、FR＝1のとき、FQ＝2　FO＝4　だからFR：RO＝1：3　直角三角形QROと直角三角形PGOは同じだから、
直角三角形FQOと直角三角形GPOの比も3＋1：3になるので、15×3＝45cm2が正三角形GHOの面積になります。

（答え）7.5cm2

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