2014年 慶應普通部の９番です。
下の図のような三角形ABCがあり、辺AB、BCをそれぞれ3等分した点をD、E、F、Gとします。また、辺ACの真ん中の点をHとします。
ア、イ、ウの面積の合計とエの免責との差は、三角形ABCの面積の何倍ですか。
何となく補助線を引きたくなる問題ではあるのですが、面積の差と言っているので、同じものを足したり、引いたりすることで解けるのではないだろうか、という感じがします。
そこで、ちょっと書いてみましょう。
三角形ABF＝ア＋キ＋ウ＝$$\frac{1}{3}$$
三角形BHC＝ア＋オ＋イ＝$$\frac{1}{2}$$
三角形ADC＝イ＋カ＋ウ＝$$\frac{1}{3}$$
これを全部加えると
ア＋ア＋イ＋イ＋ウ＋ウ＋キ＋オ＋カ＝$$\frac{7}{6}$$
全体は
ア＋イ＋ウ＋エ＋オ＋カ＋キ＝1ですから、これを引くと
ア＋イ＋ウ－エ＝$$\frac{1}{6}$$となります。
【答え】$$\frac{1}{6}$$
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