平面図形の問題

2014年 慶應普通部の9番です。


下の図のような三角形ABCがあり、辺AB、BCをそれぞれ3等分した点をD、E、F、Gとします。また、辺ACの真ん中の点をHとします。
ア、イ、ウの面積の合計とエの免責との差は、三角形ABCの面積の何倍ですか。


何となく補助線を引きたくなる問題ではあるのですが、面積の差と言っているので、同じものを足したり、引いたりすることで解けるのではないだろうか、という感じがします。

そこで、ちょっと書いてみましょう。

三角形ABF=ア+キ+ウ=$$\frac{1}{3}$$

三角形BHC=ア+オ+イ=$$\frac{1}{2}$$

三角形ADC=イ+カ+ウ=$$\frac{1}{3}$$

これを全部加えると
ア+ア+イ+イ+ウ+ウ+キ+オ+カ=$$\frac{7}{6}$$

全体は
ア+イ+ウ+エ+オ+カ+キ=1ですから、これを引くと

ア+イ+ウ-エ=$$\frac{1}{6}$$となります。

【答え】$$\frac{1}{6}$$


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