普通部の平成20年度の算数の問題です。
下の枠に１～８までの数をひとつずつ入れます。
どの数も右隣りの数より小さく、また真下の数より小さくなるように入れるとき、何通りの並べ方がありますか。
見たとき、これは良い問題だと思いました。 この年は９番もなかなか難しい、しかし良い問題だと思ったので、記憶に残っています。
普通部だから、それほど時間がかかる問題ではないはずだが、それでもある程度場合わけをしなければいけないことは明白で、問題はその分け方だったのですが、一気に上の４つを決めてしまうことができます。
解説をわかりやすくするために名前を付けましょう。
A＝１ H＝８は決まりです。 最小の数は一番左上、最大の数は一番右下でなければなりません。
Bより小さい数はAか、AとEだけです。したがってBには２か３が入ることになります。
B＝２とすると、上のABCDは
１２３４、１２３５、１２３６、１２３７
１２４５、１２４６、１２４７、
１２５６、１２５７
といれることができます。
１２６７がだめなのは、Gに入るものがなくなるからで、Dに使えるのは５までなのです。
１２３４ の場合は 下は５６７８
１２３５ の場合は 下は４６７８
１２４５ の場合は 下は３６７８
というように１つずつ決まっていきますので、ここで９通り。
では次にB＝３だとすると ABCDは
１３４５、１３４６、１３４７
１３５６、１３５７
ということで５通り。
上が１３４５と決まれば下は２６７８と１つ決まるのは上と同じです。
したがって９+５＝14通り
ということになります。
一気に上4つを決めてしまう、ということが一つの突破口で、これに気が付いてしまうとあとは簡単になるでしょう。
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