「入試問題解説」カテゴリーアーカイブ

食塩水の問題

普通部の19年度の問題。

2つのビーカーA、Bに濃さの違う食塩水がそれぞれ入っています。AとBの食塩水の重さの比は2：3です。
次の2つの作業を順に1回ずつ行います。
　・Aの食塩水の半分をBに移して、よくかき混ぜます。
　・Bの食塩水の半分をAに移して、よくかき混ぜます。
2つの作業後のA、Bの食塩水の濃さの比は4：5になります。
ここで、食塩水の濃さとは、食塩水の重さをもとにした食塩の重さの割合のことです。
（１）2つの作業後の、AとBの食塩水の重さの比を求めなさい。
（２）最初のAの食塩水の濃さが4％のとき、最初のBの食塩水の濃さを求めなさい。

問題をよく読まないとひっかかるかもしれません。

（１）

最初にAとBには２と３の食塩水があったのです。
そのうちAから半分Bにいったのだからこの段階では、
Aには１　Bには４の食塩があります。今度はBから半分Aにもどるので、
Aには３　Bには２の食塩があります。
したがって最初の答えは
３：２です。

（答え）３：２

（２）
３：２の食塩水の重さに対して濃さの比は４：５です。

したがって食塩の重さの比は

Ａ：Ｂ＝３×４：２×５＝６：５

これをもどします。

６：５→１：10→２：９

が最初の食塩水の重さの比になります。

したがって濃さの比は

2/2：9/3＝１：３になるので

したがって最初のＡの濃さが４％であれば

４×３＝12％がＢの濃さになります。

（答え）12％

食塩の重さ、食塩水の重さ、濃さと比が３種類ありますので、十分に注意して解いてください。

慶應進学オンラインより

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速さの問題

速さも毎年出題される、非常に重要なテーマです。しかも、他のテーマに比べてみると、やはり複雑な手順を必要とする場合が少なくありません。

以下は2009年の湘南の６番。６番ですから、やはりそれなりに骨があります。

A町とB町を結ぶ1本の道があり、途中にC町がある。太郎君、次郎君、三郎君の3人はA町を同時に出発して、太郎君は自転車に乗ってA町とB町の間を2往復し、次郎君と三郎君は歩いてA町とC町の間を1往復する。

太郎君の速さは毎時20km、次郎君の速さは毎時5km、三郎君の速さは毎時4kmである。

次郎君と三郎君の「出会い」が初めて起こったのは、3人が出発してから100分後であった。

また、三郎君がC町に着くまでに、三郎君と太郎君の「出会い」は2回起こったが、その間に三郎君は2km歩いていた。

　ここで、「出会い」とは、「だれかとだれかがすれちがったり、だれかがだれかに追いついたりすること」とする。

（1）A町とC町の間の距離を求めなさい。

（2）A町とB町の間の距離を求めなさい。

（3）4回目の「出会い」が起こったのは、3人が出発してから何時間後ですか。

速さの問題は、題意をつかむことがまず大事です。

そのためにグラフを用いるのは、有効な方法でしょう。

題意をグラフにすると、以下の通りになります。

（１）次郎君と三郎君が100分で初めて出会ったのだから、

（５＋４）×100/60÷２＝7.5㎞　がAからCまでの距離になります。

（答え）7.5㎞

（２）三郎君が2㎞移動するのにかかる時間は

２÷４＝1/2時間

その間に太郎君は20×1/2＝10㎞移動する。

（10－２）÷２＝４㎞

なので二人が最初に出会ったのはAから4㎞のところになります。

そこまで三郎君は４÷４＝１時間かかるので、太郎君も１時間動いていますから20㎞移動している。そこから４㎞でABを一往復したことになるので

（20＋４）÷２＝12㎞　がAB間の距離になります。

（答え）12㎞

（３）４回目はグラフから太郎君と次郎君の出会いになります。

太郎君が１回目にAに戻るのは

２４÷２０＝6/5時間

次郎君がCに着くのは

7.5÷５＝3/2時間

その時までに太郎君は3/2－6/5＝3/10時間動くので

20×3/10＝6㎞　したがって二人の間は

7.5－６＝1.5㎞になります。

1.5÷（5＋20）＝0.06時間

したがって3/2時間＋0.06時間＝1.56時間

（答え）1.56時間

この問題は速さとグラフの中では比較的解きやすい問題でしょう。上手にグラフを書きながら、題意をしっかりつかんで、確実に正答できる力を養ってください。

慶應進学オンラインより

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波に乗る
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おまけの問題

慶應の問題も、他校で出題された問題がちょくちょく顔を出します。

以下は平成20年の普通部算数。

これはジュースの空き瓶で、新たなジュースがもらえるというシステム。

あるジュースは1本100円で、空きびんを4本持っていくと、新しいジュースを1本もらうことができます。例えば、700円あるとジュースを9本飲むことができます。

（１）1900円では何本のジュースを飲むことができますか。

（２）いくらあればジュースを90本飲めますか。

（１）
○が買ったジュース、×がおまけのジュースです。

最初の４本は買いましたが、その次に１本おまけでもらって、残り３本買うと空き瓶がまた４本そろうので、１本もらえます。

○○○○/×○○○/×○○○/×○・・・・

最初400円、次からは300円で４本ずつ飲めることになりますから、

1900ー400＝1500
1500÷300＝５　
ちょうど割り切れるので、最後に×が加わります。
したがって
４×（１＋５）＋１＝25

（答え）２５本

（２）90÷４＝22･･･2　です。あまりの最初は×、次は○ですから１本は買わないといけないことがわかります。

400＋300×21＋100＝6800円

（答え）6800円

パターンとして、解き方を覚えておいてよい問題でしょう。
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私立のいじめや不登校
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立体と容積の問題

平成18年　慶應湘南の問題です。

図１において、立体Aは直方体から直方体を切り取ったものである。また水そうBは直方体の形をしたものである。

Bに深さ20cmまで水を入れ、AをBに毎秒１㎝の速さでしずめた。ただし、Aの底面（かげのついた面）とBの底面はつねに平行であったとする。

図２はAの底面と水面が接した時を０秒として、水の深さの変化を表したグラフである。

（１）Aの体積を求めなさい。

（２）Aにおいて（あ）の長さを求めなさい。

（３）図２において（い）の時間を求めなさい。

（１）全部入れたときに深さが32㎝になったので、12㎝分の体積があります。

10×12×12＝1440㎝3

（答え）1440㎝3

（２）
グラフは３秒後に水の深さが急に上がっていますので、３秒後に（あ）の深さまで達したことになります。

立体Aが１㎝入ると、8×6×1＝48　容積がふえるので、

　48÷（10×12－48）＝2/3cm

水の高さがあがることになります。結果として

１＋2/3＝5/3cm水中に入っていくことになるので、３秒後は

5/3×３＝5

（答え）５㎝

（３）
３秒後は１㎝はいると、体積は８×10×１＝80㎝3増えるので
水面は80÷（120－80）＝２㎝上がります。したがって
２＋１＝３㎝ずつ水中に入っていきます。

立体Aの体積は1440cm3で、（あ）の高さが５㎝ですから残りの体積は1440－8×5×6＝1200cm3
1200÷80＝15㎝が残りの高さですから

15÷３＝５
３＋５＝８が（い）になります。
（答え）８秒

慶應進学オンラインより

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次号は25日正午ごろ配信します。

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規則性の問題

パスカルの三角形という規則性があります。

高校に行けば二項定理で、使う数ですね。

（ｘ＋ｙ）の二乗はｘ2＋２xy＋ｙ2　と展開できますが、その係数は１、２、１となります。
三乗であれば１、３、３、１　４乗であれば１、４、６、４、１
となるのですが、この並びにはある規則があり、これをパスカルの三角形と呼びます。

この規則が比較的良く出題されます。

以下は平成17年の中等部の問題。

図のように、あるきまりにしたがって１段目から12段目まで数を並べます。次の問いに応えなさい。

（１）Aに入る数は（　　　）で、Bに入る数は（　　）です。
（２）12段目に入るすべての数の和は（　　　　）です。

（１）

規則は簡単で、上の２つの数の和になっているということです。
例えば４段目の３は上の１と２が加わっている。

それがわかれば全部埋めていけばいいということになるわけですが、AとBを求めればいいので、それがわかるところだけ入れていきましょう。

ということになるので、

Aは36　Bは210です。

（２）

各段の和にも規則があります。
１→２→４→８→16・・・

ｎ段目の和は２を（ｎ－１）回掛け合わせたものになっています。

したがって12段目は2048になります。

これはその場で出してもいいが、知識としてしっていて良い問題でしょう。

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