関数

平成23年　慶應義塾志木高校

図のように、放物線C： $y=x^2$ と、 $x$ 軸の正の部分と30°の角をなして交わる直線ℓが、2点A、Bで交わっている。点Aの $x$ 座標を $a(a>0)$ とするとき、次の問いに答えよ。
（1）点Bの $x$ 座標を $a$ を用いて表せ。
（2）点Pを、直線ABと直線APが直交し、点Aと重ならないように、放物線C上にとる。∠ABP＝45°となるとき、 $a$ の値を求めよ。

【解説と解答】
（1）直線ℓの傾きは $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ になるので、Aが $(a,a^2)$ を通るので、直線ℓの方程式は

$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-a)+a^2$

となるから

$x^2=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-a)+a^2$

から

$x^2+\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}a+a^2=(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab$

したがって $a+b=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ より、 $b=-a-\frac{\sqrt{3}}{3}$
（答え） $-a-\frac{\sqrt{3}}{3}$

（2）

Pの $x$ 座標が $a$ より大きいときは、図1、小さい時は図2になります。
いずれの場合も
△ABmと△APｎは合同な三角形になります。

図1のとき、直線APの傾きは $\sqrt{3}$ になるので、直線APの方程式を

$y=\sqrt{3}x+k$

とすると、これが $(a,a^2)$ を通るので、 $a^2=\sqrt{3}a+k$ から $ｋ=a^2-\sqrt{3}a$ なので、

$x^2=\sqrt{3}x+a^2-\sqrt{3}a$

$x^2-\sqrt{3}x-a^2+\sqrt{3}a=(x-a)(x+a-\sqrt{3})$

からPのｘ座標は $\sqrt{3}-a$

図1のとき、 $nA=\sqrt{3}-2a$ ,

図2のとき、 $An=2a-\sqrt{3}$

nA＝Bmから、 $Bm=(-a-\frac{\sqrt{3}}{3})^2-a^2=\frac{2\sqrt{3}}{3}a+\frac{1}{3}$

図1の場合は、 $\sqrt{3}-2a=\frac{2\sqrt{3}}{3}a+\frac{1}{3}$

$a=\frac{5\sqrt{3}-6}{6}$

図2のとき、 $2a-\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a+\frac{1}{3}$

$a=\frac{5\sqrt{3}+6}{6}$

（答え） $\frac{5\sqrt{3}-6}{6}$ 、 $\frac{5\sqrt{3}+6}{6}$

文章題

平成23年　慶應義塾女子高校

ある部活動の合宿を、部員全員の参加を見込んで計画し、費用の総額を部員人数で割って参加費を事前に集めた。しかし、合宿直前の練習でケガをした4名が合宿に参加できなくなった。合宿が終わってから、不参加者に9000円ずつ返金し、参加者から2000円ずつ、追加徴収したら、費用の総額に一致したという。部員の人数を求めよ。

【解説と解答】
合宿に参加できた人数は、9000×4÷2000＝18人
18＋4＝22人
（答え）22人

確率

平成20年　慶應義塾高校

大中小の3個のサイコロを同時に投げるとき、出る目の和が6になる確率を求めよ。

【解説と解答】
大中小と、サイコロが区別できています。
したがって全部の場合の数は $6^3$ =216

和が6になるのは、
（大、中、小）＝（4、1、1）（3、1、2）（3、2、1）（2、1、3）（2、2、2）（2、3、1）（1、4、1）（1、3、2）（1、2、3）（1、1、4）までの10通り。
したがって確率は $\frac{10}{216}=\frac{5}{108}$

（答え） $\frac{5}{108}$

立体図形

平成23年　慶應義塾志木高校

1辺の長さ2の立方体ABCDｰEFGHにおいて、辺CG上にCI：IG＝2：1となる点Iをとる。△BDEと線分AIの交点をJとするとき、次の問いに答えよ。

（1）三角錐A-BDEの体積を求めよ。
（2）AJ；JIを求めよ。

【解説と解答】
（1）2×2÷2×2÷3＝ $\frac{4}{3}$
（答え） $\frac{4}{3}$

（2）

図は立方体をAEGCを通る平面で切ったときのものです。
MはBDの中点です。
CI：IG＝AK：KE＝2：1からAM＝ $\sqrt{2}$ から、KL＝ $\frac{\sqrt{2}}{3}$ になるので、
LI＝ $2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{5\sqrt{2}}{3}$
からAM：LI＝AJ：JI＝3:5
（答え）3:5

平面図形

平成22年　慶應義塾女子高校

長方形ABCDを辺ＡＢ上の点Fと頂点Dを通る線分を折り目にして折り返すと、頂点Aが辺BCの中点Eと重なる。辺ADの長さを $a$ として、次の問いに答えよ。
（1）線分AEの長さが $a$ であることを証明せよ。
（2）△DEFの面積が $\sqrt{3}$ であるとき、 $a$ の値を求めよ。

【解説と解答】
（1）図1

（答え）
図において、折り返したのでDE＝AD＝ $a$
EがBCの中点なので、BE＝EC＝ $\frac{1}{2}a$ 　　
□ABCDは長方形だから、AB＝DC　∠B＝∠C＝90°
から2組の辺と直角が等しいので、△ABE≡△ECDよりAE＝ $a$

（2）
△DECが60°、30°、90°の直角三角形になるので、∠ADF＝∠FDE＝30°、∠DEF＝∠DAF＝90°から
△DEFは30°、60°、90°の直角三角形になるので、FE:ED＝1： $\sqrt{3}$
ED＝ $a$ 　よりFE＝ $\frac{1}{\sqrt{3}}a$ 　　

$a$ × $\frac{1}{\sqrt{3}}a$ × $\frac{1}{2}$ ＝ $\sqrt{3}$

$\frac{a^2}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

$a^2$ ＝6

$a$ = $\sqrt{6}$

（答え） $\sqrt{6}$

関数

平成19年　慶應義塾高校

図のように、放物線 $y=x^2$ と傾き2の直線が2点A,Bで文字割っている。2点A、Bの $x$ 座標をそれぞれ $a$ , $b$ として、次の問いに答えよ。

① $b$ を $a$ で表しなさい。
②さらに、放物線上に点Cをとり、△ABCが∠A＝90°の直角二等辺三角形になるようにする。このとき、点Cの $x$ 座標を $a$ で表しなさい。
③ $a$ の値を求めなさい。

【解説と解答】
①
直線ABの方程式を $y=2x+k$ とすると、 $x^2=2x+k$ となり、この方程式が $(x-a)(x-b)$ になるので、 $a+b=2$ 　から　 $b=-a+2$
（答え） $b=-a+2$

②
直線ACの方程式は $y=-\frac{1}{2}x+m$ となり、 $x^2=-\frac{1}{2}x+m$ これが $(x-a)(x-c)$ になるので、 $a+c=-\frac{1}{2}$ 　　から　　 $c=-a-\frac{1}{2}$
（答え） $c=-a-\frac{1}{2}$

③AB＝ACからACの $x$ 座標の差とABの $y$ 座標の差が等しいので、

$a-(-a-\frac{1}{2})=(-a+2)^2-a^2$

$2a+\frac{1}{2}=-4a+4$

から
$a=\frac{7}{12}$
(答え） $\frac{7}{12}$

因数分解

平成22年　慶應義塾志木高校
次の式を因数分解せよ。

$xy-xz-y^2-z^2+2yz$

【解説と解答】
与式＝

$x(y-z)-(y-z)^2$

＝

$(y-z)(x-y+z)$

立体図形

平成22年　慶應義塾女子高校

図1

図2

図1のような1辺の長さが3の立方体がある。この立方体の頂点Aから辺CD、辺GH上の点を通り、頂点Fを経由して、さらに辺ＢＣ、辺ＡＤ上の点を通って点Ｈまでひもをかける。そのひもの長さが最も短くなる場合に、ひもが辺CD、辺BC、辺AD上で通る点をそれぞれ、I、J、Kとし、線分AIと線分JKの交点をLとする。次の問いに答えよ。
（1）立方体の展開図（図2）に点Lの位置を図示せよ。
（2）線分AKの長さを求めよ。
（3）点Lから辺ABに垂線LMをひく。AM：MBを求めよ。
（4）線分BLの長さを求めよ。
（5）この立方体において、線分FLの長さを求めよ。

【解説と解答】
（1）
図のようになります。

(2)

図から△HKDと△AKは1：2の相似になるので、AK：KD＝2：1からAK＝2
（答え）2

（3）

AK＝2、BJ＝1、JF＝9−1＝8からAK：JF＝AL：LF＝1：4＝AM：ABよりAM：MB＝1：4
（答え）1：4

（4）AF：MF＝10：9からML＝ $\frac{9}{5}$ ,
MB= $\frac{12}{5}$ から
$BL^2$ = $\frac{9}{5}^2$ + $\frac{12}{5}^2$ =9
よりBL＝3
（答え）3

（5）
図からBL＝BF＝3で∠LBF＝90°から、FL＝3 $\sqrt{2}$

（答え）3 $\sqrt{2}$

平面図形

平成20年　慶應義塾高校

△ABCの辺AB、BC、CA上にそれぞれD、E、Fをとる。BE：EC＝3：5で、△ABCの面積は1cm²である。△ABCの面積と四角形DBEFの面積が等しいとき、□ADECの面積を求めよ。

【解説と解答】

図で、BE：EC=3：5
△ABEと□DBEFが等しいので、DFとAEの交点をGODとしたとき、△ADGと△GEFの面積が等しくなる。
△ADGと△GEFに△AGFをそれぞれ加えても、面積は等しいから、△ADFと△AEFの面積が等しいので、AFとDEが平行になるので
AD：DB＝CE：EB＝5：3
△BDEの面積は
1× $\frac{3}{8}$ × $\frac{3}{8}$ ＝ $\frac{9}{64}$
になるので、
□ADECの面積は1− $\frac{9}{64}$ ＝ $\frac{55}{64}$

（答え） $\frac{55}{64}$ cm²

場合の数

平成23年　慶應義塾志木高校

1から8までの数字が1つずつ書かれた8枚のカードを、順番にA、B、Cのいずれかの箱に入れていく、1枚もカードが入らない箱があっても良いものとして、次の問いに答えよ。

（1）カードの入れ方は何通りあるか。
（2）Aの箱にちょうど5枚入るカードの入れ方は何通りあるか。
（3）書かれた数字を消して箱に入れていく場合、A、B、Cの箱に入ったカードの枚数の組み合わせは、何通りあるか。

【解説と解答】
（1）どのカードもA、B、Cのどれかに入るので入り方は1が3通り、2も3通り、3も3通り、･･･、8も3通り。したがって全部で
$3^8$ =6561
（答え）6561通り

（2）（A、B、C）＝（5、0、3）（5、1、2）（5、2、1）（5、3、0）
（5、0、3）＝ ${}_8 C_3$ ＝ $\frac{8!}{3!(8-3)!}$ =56
（5、1、2）＝8× ${}_7 C_2$ ＝8× $\frac{7!}{2!(7-2)!}$ =168
56×2＋168×2＝112＋336＝448
（答え）448通り