平面図形

平成22年　慶應義塾女子高校

長方形ABCDを辺ＡＢ上の点Fと頂点Dを通る線分を折り目にして折り返すと、頂点Aが辺BCの中点Eと重なる。辺ADの長さをaとして、次の問いに答えよ。
（1）線分AEの長さがaであることを証明せよ。
（2）△DEFの面積が\sqrt{3}であるとき、aの値を求めよ。

【解説と解答】
（1）図1

（答え）
図において、折り返したのでDE＝AD＝a
EがBCの中点なので、BE＝EC＝\frac{1}{2}a　　
□ABCDは長方形だから、AB＝DC　∠B＝∠C＝90°
から2組の辺と直角が等しいので、△ABE≡△ECDよりAE＝a

（2）
△DECが60°、30°、90°の直角三角形になるので、∠ADF＝∠FDE＝30°、∠DEF＝∠DAF＝90°から
△DEFは30°、60°、90°の直角三角形になるので、FE:ED＝1：\sqrt{3}
ED＝a　よりFE＝\frac{1}{\sqrt{3}}a　　

a×\frac{1}{\sqrt{3}}a×\frac{1}{2}＝\sqrt{3}

\frac{a^2}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}

a^2＝6

a=\sqrt{6}

（答え）\sqrt{6}