「平面図形」カテゴリーアーカイブ

平面図形

平成21年　慶應義塾女子高校

∠A＝90°の直角三角形ABCにおいて、頂点Aから辺ＢＣにひいた垂線と辺ＢＣとの交点をＤ、∠Ｂの二等分線と辺ＣＡとの交点をＥ、Ｅから辺ＢＣにひいた垂線と辺ＢＣとの交点をF、ADとBEとの交点をGとする。

（1）三角形AGEが二等辺三角形であることを証明せよ。
（2）四角形ACFEがひし形であることを証明せよ。

【解説と解答】
（1）

BEが∠Bの二等分線だから、三角形ABEと三角形GBDは∠ABE＝∠GBDで相似。
∠AEG＝∠BGD
∠BGD＝∠AGEより∠AGE＝∠AEGから三角形AGEは二等辺三角形。

（2）
（1）よりAE＝AG　
∠ABE＝∠EBF　斜辺を共有する直角三角形なので、三角形ABE≡三角形BEFからAE＝EF
また
∠AGF＝∠GBE　AB＝BF　BGが共通だから、三角形AGF≡三角形BGFよりAG＝GF
したがってAE＝AG＝EF＝GFから四角形AGFEはひし形。

平面図形

平成20年　慶應義塾高校

図のような平行四辺形ABCDにおいて、AB＝a、∠ABC＝xとする。ただし、0°<x<90°とする。点Eは辺BC上の点でAE⊥BCである。また、辺AD上に点Gをとり、AEとBGの交点Fとすると、FG＝2aである。次の問いに答えよ。
（1）FGの中点をMとするとき、AMの長さをaを用いて表せ。
（2）∠FBEの大きさをxを用いて表せ。
（3）x＝45°のとき、BFの長さをaを用いて表せ。

【解説と解答】


（1）FM＝MG＝a、∠FAG＝90°から、Aは中心がMで半径がaの円の円周上の点になる。したがってAM＝a
（答え）a

（2）∠FBE＝∠AGM＝∠MAGから∠FBE＝yとすると、　∠AMF＝2y
AB=AM=aから∠ABF＝2yから∠ABE＝3y=x
したがってy=\frac{1}{3}x
（答え）y=\frac{1}{3}x

（3）x＝45°よりy＝15° ∠ABM＝30°　AからBMに垂線を下ろし、BMとの交点をHとすると、AB＝AMよりBH＝HM
三角形ABH＝2：1：\sqrt{3}よりBM=2BH＝\sqrt{3}a
FM＝aよりBF＝\sqrt{3}a-a
（答え）(\sqrt{3}-1)a

平面図形

平成22年　慶應義塾女子高校

長方形ABCDを辺ＡＢ上の点Fと頂点Dを通る線分を折り目にして折り返すと、頂点Aが辺BCの中点Eと重なる。辺ADの長さをaとして、次の問いに答えよ。
（1）線分AEの長さがaであることを証明せよ。
（2）△DEFの面積が\sqrt{3}であるとき、aの値を求めよ。

【解説と解答】
（1）図1

（答え）
図において、折り返したのでDE＝AD＝a
EがBCの中点なので、BE＝EC＝\frac{1}{2}a　　
□ABCDは長方形だから、AB＝DC　∠B＝∠C＝90°
から2組の辺と直角が等しいので、△ABE≡△ECDよりAE＝a

（2）
△DECが60°、30°、90°の直角三角形になるので、∠ADF＝∠FDE＝30°、∠DEF＝∠DAF＝90°から
△DEFは30°、60°、90°の直角三角形になるので、FE:ED＝1：\sqrt{3}
ED＝a　よりFE＝\frac{1}{\sqrt{3}}a　　

a×\frac{1}{\sqrt{3}}a×\frac{1}{2}＝\sqrt{3}

\frac{a^2}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}

a^2＝6

a=\sqrt{6}

（答え）\sqrt{6}

平面図形

平成20年　慶應義塾高校

△ABCの辺AB、BC、CA上にそれぞれD、E、Fをとる。BE：EC＝3：5で、△ABCの面積は1cm2である。△ABCの面積と四角形DBEFの面積が等しいとき、□ADECの面積を求めよ。

【解説と解答】

図で、BE：EC=3：5
△ABEと□DBEFが等しいので、DFとAEの交点をGODとしたとき、△ADGと△GEFの面積が等しくなる。
△ADGと△GEFに△AGFをそれぞれ加えても、面積は等しいから、△ADFと△AEFの面積が等しいので、AFとDEが平行になるので
AD：DB＝CE：EB＝5：3
△BDEの面積は
1×\frac{3}{8}×\frac{3}{8}＝\frac{9}{64}
になるので、
□ADECの面積は1−\frac{9}{64}＝\frac{55}{64}

（答え）\frac{55}{64}cm2