平成21年　慶應義塾女子高校

∠A＝90°の直角三角形ABCにおいて、頂点Aから辺ＢＣにひいた垂線と辺ＢＣとの交点をＤ、∠Ｂの二等分線と辺ＣＡとの交点をＥ、Ｅから辺ＢＣにひいた垂線と辺ＢＣとの交点をF、ADとBEとの交点をGとする。

（1）三角形AGEが二等辺三角形であることを証明せよ。
（2）四角形ACFEがひし形であることを証明せよ。

【解説と解答】
（1）

BEが∠Bの二等分線だから、三角形ABEと三角形GBDは∠ABE＝∠GBDで相似。
∠AEG＝∠BGD
∠BGD＝∠AGEより∠AGE＝∠AEGから三角形AGEは二等辺三角形。

（2）
（1）よりAE＝AG　
∠ABE＝∠EBF　斜辺を共有する直角三角形なので、三角形ABE≡三角形BEFからAE＝EF
また
∠AGF＝∠GBE　AB＝BF　BGが共通だから、三角形AGF≡三角形BGFよりAG＝GF
したがってAE＝AG＝EF＝GFから四角形AGFEはひし形。