立体図形

平成22年　慶應義塾女子高校

図1

図2

図1のような1辺の長さが3の立方体がある。この立方体の頂点Aから辺CD、辺GH上の点を通り、頂点Fを経由して、さらに辺ＢＣ、辺ＡＤ上の点を通って点Ｈまでひもをかける。そのひもの長さが最も短くなる場合に、ひもが辺CD、辺BC、辺AD上で通る点をそれぞれ、I、J、Kとし、線分AIと線分JKの交点をLとする。次の問いに答えよ。
（1）立方体の展開図（図2）に点Lの位置を図示せよ。
（2）線分AKの長さを求めよ。
（3）点Lから辺ABに垂線LMをひく。AM：MBを求めよ。
（4）線分BLの長さを求めよ。
（5）この立方体において、線分FLの長さを求めよ。

【解説と解答】
（1）
図のようになります。

(2)

図から△HKDと△AKは1：2の相似になるので、AK：KD＝2：1からAK＝2
（答え）2

（3）

AK＝2、BJ＝1、JF＝9−1＝8からAK：JF＝AL：LF＝1：4＝AM：ABよりAM：MB＝1：4
（答え）1：4

（4）AF：MF＝10：9からML＝\frac{9}{5},
MB=\frac{12}{5}から
BL^2=\frac{9}{5}^2+\frac{12}{5}^2=9
よりBL＝3
（答え）3

（5）
図からBL＝BF＝3で∠LBF＝90°から、FL＝3\sqrt{2}

（答え）3\sqrt{2}