関数

平成21年　慶應義塾女子高校

放物線 $y=x^2$ 上に3点、P、Q、Rがある。点Pの $x$ 座標は正で、点Qの $x$ 座標は点Pの $x$ 座標より1大きい。点Rは $y$ 軸に関して点Pと対称な点である。さらに、点Sは四角形RPQSが平行四辺形になるような点とする。点Pの $x$ 座標を $t$ として、次の問いに答えよ。
（1） $t$ ＝2のとき、点Sの座標と直線RQの式を求めよ。
（2）直線 $y=3x+29$ が平行四辺形RPQSを二等分するとき、 $t$ の値を求めよ。
（3）点Tが、点Rから点Qまで線分RQ上を動くとき、三角形TRPが直角三角形になるような点Tをすべて求めて、その座標を $t$ を用いた式で答えよ。

【解説と解答】
(1)
$t=2$ のときP(2.4), Q(3,9), R(-2,4)からS=（−1，9）
直線RQの式は傾きが、

$\frac{9-4}{3-(-2)}=1$

なので

$y=x+6$

（答え）
Sの座標（−1、9)
直線RQ　 $y=x+6$

(2)
$R(-t,(-t)^2), Q(t+1,(t+1)^2)$ の中点を $y=3x+29$ が通るので、
中点は $(\frac{1}{2},\frac{2t^2+2t+1}{2})$ だから、

$\frac{2t^2+2t+1}{2}=3\times(\frac{1}{2})+29=\frac{61}{2}$

これを解いて
$2t^2+2t-60=0$ から　 $(t+6)(t-5)=0$
$t>0$ より $t=5$

（答え）5

(3)
∠RTPが90°の場合と∠TPRが90°の場合があります。
∠RTPが90°のとき、Tはy軸上にあるので、RQの方程式は傾きが1だから、
$y=x+t^2+t$

だからこのときのTの座標は
$(0,t^2+t)$
∠TRPが90°のときは、Tの $x$ 座標が $t$ になるので、
$(t,t^2+2t)$

（答え） $(0,t^2+t)$ 、 $(t,t^2+2t)$