「関数」カテゴリーアーカイブ

関数

平成21年　慶應義塾女子高校

放物線 $y=x^2$ 上に3点、P、Q、Rがある。点Pの $x$ 座標は正で、点Qの $x$ 座標は点Pの $x$ 座標より1大きい。点Rは $y$ 軸に関して点Pと対称な点である。さらに、点Sは四角形RPQSが平行四辺形になるような点とする。点Pの $x$ 座標を $t$ として、次の問いに答えよ。
（1） $t$ ＝2のとき、点Sの座標と直線RQの式を求めよ。
（2）直線 $y=3x+29$ が平行四辺形RPQSを二等分するとき、 $t$ の値を求めよ。
（3）点Tが、点Rから点Qまで線分RQ上を動くとき、三角形TRPが直角三角形になるような点Tをすべて求めて、その座標を $t$ を用いた式で答えよ。

【解説と解答】
(1)
$t=2$ のときP(2.4), Q(3,9), R(-2,4)からS=（−1，9）
直線RQの式は傾きが、

$\frac{9-4}{3-(-2)}=1$

なので

$y=x+6$

（答え）
Sの座標（−1、9)
直線RQ　 $y=x+6$

(2)
$R(-t,(-t)^2), Q(t+1,(t+1)^2)$ の中点を $y=3x+29$ が通るので、
中点は $(\frac{1}{2},\frac{2t^2+2t+1}{2})$ だから、

$\frac{2t^2+2t+1}{2}=3\times(\frac{1}{2})+29=\frac{61}{2}$

これを解いて
$2t^2+2t-60=0$ から　 $(t+6)(t-5)=0$
$t>0$ より $t=5$

（答え）5

(3)
∠RTPが90°の場合と∠TPRが90°の場合があります。
∠RTPが90°のとき、Tはy軸上にあるので、RQの方程式は傾きが1だから、
$y=x+t^2+t$

だからこのときのTの座標は
$(0,t^2+t)$
∠TRPが90°のときは、Tの $x$ 座標が $t$ になるので、
$(t,t^2+2t)$

（答え） $(0,t^2+t)$ 、 $(t,t^2+2t)$

関数

平成23年　慶應義塾志木高校

図のように、放物線C： $y=x^2$ と、 $x$ 軸の正の部分と30°の角をなして交わる直線ℓが、2点A、Bで交わっている。点Aの $x$ 座標を $a(a>0)$ とするとき、次の問いに答えよ。
（1）点Bの $x$ 座標を $a$ を用いて表せ。
（2）点Pを、直線ABと直線APが直交し、点Aと重ならないように、放物線C上にとる。∠ABP＝45°となるとき、 $a$ の値を求めよ。

【解説と解答】
（1）直線ℓの傾きは $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ になるので、Aが $(a,a^2)$ を通るので、直線ℓの方程式は

$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-a)+a^2$

となるから

$x^2=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-a)+a^2$

から

$x^2+\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}a+a^2=(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab$

したがって $a+b=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ より、 $b=-a-\frac{\sqrt{3}}{3}$
（答え） $-a-\frac{\sqrt{3}}{3}$

（2）

Pの $x$ 座標が $a$ より大きいときは、図1、小さい時は図2になります。
いずれの場合も
△ABmと△APｎは合同な三角形になります。

図1のとき、直線APの傾きは $\sqrt{3}$ になるので、直線APの方程式を

$y=\sqrt{3}x+k$

とすると、これが $(a,a^2)$ を通るので、 $a^2=\sqrt{3}a+k$ から $ｋ=a^2-\sqrt{3}a$ なので、

$x^2=\sqrt{3}x+a^2-\sqrt{3}a$

$x^2-\sqrt{3}x-a^2+\sqrt{3}a=(x-a)(x+a-\sqrt{3})$

からPのｘ座標は $\sqrt{3}-a$

図1のとき、 $nA=\sqrt{3}-2a$ ,

図2のとき、 $An=2a-\sqrt{3}$

nA＝Bmから、 $Bm=(-a-\frac{\sqrt{3}}{3})^2-a^2=\frac{2\sqrt{3}}{3}a+\frac{1}{3}$

図1の場合は、 $\sqrt{3}-2a=\frac{2\sqrt{3}}{3}a+\frac{1}{3}$

$a=\frac{5\sqrt{3}-6}{6}$

図2のとき、 $2a-\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a+\frac{1}{3}$

$a=\frac{5\sqrt{3}+6}{6}$

（答え） $\frac{5\sqrt{3}-6}{6}$ 、 $\frac{5\sqrt{3}+6}{6}$

関数

平成19年　慶應義塾高校

図のように、放物線 $y=x^2$ と傾き2の直線が2点A,Bで文字割っている。2点A、Bの $x$ 座標をそれぞれ $a$ , $b$ として、次の問いに答えよ。

① $b$ を $a$ で表しなさい。
②さらに、放物線上に点Cをとり、△ABCが∠A＝90°の直角二等辺三角形になるようにする。このとき、点Cの $x$ 座標を $a$ で表しなさい。
③ $a$ の値を求めなさい。

【解説と解答】
①
直線ABの方程式を $y=2x+k$ とすると、 $x^2=2x+k$ となり、この方程式が $(x-a)(x-b)$ になるので、 $a+b=2$ 　から　 $b=-a+2$
（答え） $b=-a+2$

②
直線ACの方程式は $y=-\frac{1}{2}x+m$ となり、 $x^2=-\frac{1}{2}x+m$ これが $(x-a)(x-c)$ になるので、 $a+c=-\frac{1}{2}$ 　　から　　 $c=-a-\frac{1}{2}$
（答え） $c=-a-\frac{1}{2}$