関数

平成19年　慶應義塾高校

図のように、放物線 $y=x^2$ と傾き2の直線が2点A,Bで文字割っている。2点A、Bの $x$ 座標をそれぞれ $a$ , $b$ として、次の問いに答えよ。

① $b$ を $a$ で表しなさい。
②さらに、放物線上に点Cをとり、△ABCが∠A＝90°の直角二等辺三角形になるようにする。このとき、点Cの $x$ 座標を $a$ で表しなさい。
③ $a$ の値を求めなさい。

【解説と解答】
①
直線ABの方程式を $y=2x+k$ とすると、 $x^2=2x+k$ となり、この方程式が $(x-a)(x-b)$ になるので、 $a+b=2$ 　から　 $b=-a+2$
（答え） $b=-a+2$

②
直線ACの方程式は $y=-\frac{1}{2}x+m$ となり、 $x^2=-\frac{1}{2}x+m$ これが $(x-a)(x-c)$ になるので、 $a+c=-\frac{1}{2}$ 　　から　　 $c=-a-\frac{1}{2}$
（答え） $c=-a-\frac{1}{2}$

③AB＝ACからACの $x$ 座標の差とABの $y$ 座標の差が等しいので、

$a-(-a-\frac{1}{2})=(-a+2)^2-a^2$

$2a+\frac{1}{2}=-4a+4$

から
$a=\frac{7}{12}$
(答え） $\frac{7}{12}$