「数と式」カテゴリーアーカイブ

式の値

平成21年　慶應義塾志木高校

$x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $x+\frac{1}{x}$

(2) $x^2+\frac{1}{x^2}$

(3) $x^3+\frac{1}{x^3}$

【解説と解答】
(1)与式＝
$\frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{2}{3+\sqrt{5}}$
$=\frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{2(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}$
$=\frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
$=3$
（答え）3

(2)
$(x+\frac{1}{x})^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2$
より
与式＝ $3^2-2=7$
（答え）7

(3)
$(x+\frac{1}{x})^3=x^3+\frac{1}{x^3}+3(x+\frac{1}{x})$
より
与式＝ $3^3-3\times3=18$
（答え）18

数と式

平成20年　慶應義塾高校

次の（　　　　）にあてはまる数を答えよ。
自然数を3で割ったときのあまりの数、0、1、2の和は3で割り切れる。このように、自然数を $n$ で割ったときの余りの数の和が $n$ で割り切れるような数は99未満に（　ア　）個あり、その数の和は（　イ　）である。

【解説と解答】
$n$ で割ったときのあまりは0から $n-1$ まで $n$ 個あり、その和は $\frac{(0+n-1)\times{n}}{2}$ なので、 $n-1$ が偶数のとき成立するから、 $n$ は奇数になる。
したがって1〜97までの奇数だから（97−1）÷2＋1＝49個･･･ア
またその和は（1＋97）×49÷2＝49×49＝2401･･･イ
（答え）ア　49　イ　2401