「慶應義塾女子高校」カテゴリーアーカイブ

平面図形

平成21年　慶應義塾女子高校

∠A＝90°の直角三角形ABCにおいて、頂点Aから辺ＢＣにひいた垂線と辺ＢＣとの交点をＤ、∠Ｂの二等分線と辺ＣＡとの交点をＥ、Ｅから辺ＢＣにひいた垂線と辺ＢＣとの交点をF、ADとBEとの交点をGとする。

（1）三角形AGEが二等辺三角形であることを証明せよ。
（2）四角形ACFEがひし形であることを証明せよ。

【解説と解答】
（1）

BEが∠Bの二等分線だから、三角形ABEと三角形GBDは∠ABE＝∠GBDで相似。
∠AEG＝∠BGD
∠BGD＝∠AGEより∠AGE＝∠AEGから三角形AGEは二等辺三角形。

（2）
（1）よりAE＝AG　
∠ABE＝∠EBF　斜辺を共有する直角三角形なので、三角形ABE≡三角形BEFからAE＝EF
また
∠AGF＝∠GBE　AB＝BF　BGが共通だから、三角形AGF≡三角形BGFよりAG＝GF
したがってAE＝AG＝EF＝GFから四角形AGFEはひし形。

関数

平成21年　慶應義塾女子高校

放物線 $y=x^2$ 上に3点、P、Q、Rがある。点Pの $x$ 座標は正で、点Qの $x$ 座標は点Pの $x$ 座標より1大きい。点Rは $y$ 軸に関して点Pと対称な点である。さらに、点Sは四角形RPQSが平行四辺形になるような点とする。点Pの $x$ 座標を $t$ として、次の問いに答えよ。
（1） $t$ ＝2のとき、点Sの座標と直線RQの式を求めよ。
（2）直線 $y=3x+29$ が平行四辺形RPQSを二等分するとき、 $t$ の値を求めよ。
（3）点Tが、点Rから点Qまで線分RQ上を動くとき、三角形TRPが直角三角形になるような点Tをすべて求めて、その座標を $t$ を用いた式で答えよ。

【解説と解答】
(1)
$t=2$ のときP(2.4), Q(3,9), R(-2,4)からS=（−1，9）
直線RQの式は傾きが、

$\frac{9-4}{3-(-2)}=1$

なので

$y=x+6$

（答え）
Sの座標（−1、9)
直線RQ　 $y=x+6$

(2)
$R(-t,(-t)^2), Q(t+1,(t+1)^2)$ の中点を $y=3x+29$ が通るので、
中点は $(\frac{1}{2},\frac{2t^2+2t+1}{2})$ だから、

$\frac{2t^2+2t+1}{2}=3\times(\frac{1}{2})+29=\frac{61}{2}$

これを解いて
$2t^2+2t-60=0$ から　 $(t+6)(t-5)=0$
$t>0$ より $t=5$

（答え）5

(3)
∠RTPが90°の場合と∠TPRが90°の場合があります。
∠RTPが90°のとき、Tはy軸上にあるので、RQの方程式は傾きが1だから、
$y=x+t^2+t$

だからこのときのTの座標は
$(0,t^2+t)$
∠TRPが90°のときは、Tの $x$ 座標が $t$ になるので、
$(t,t^2+2t)$

（答え） $(0,t^2+t)$ 、 $(t,t^2+2t)$

確率

平成21年　慶應義塾女子高校

2つのさいころを同時に投げて出た目の合計が偶数の場合はその半分を、奇数の場合はその2倍を得点とする。得点が6点以下になる確率を求めよ。

【解説と解答】
2つのさいころなので、でた目は2〜12まであります。得点が6以下になるのは
2→1　3→6　4→2　6→3　8→4　10→5　12→6です。
2は1通り
3は（1，2）（2、1）で2通り
4は（1，3）（2、2）（3、1）で3通り
6は（1、5）（2、4）（3、3）（4、2）（5、1）で5通り
8は（2、6）（3、5）（4、4）（5、3）（6、2）で5通り
10は（4、6）（5、5）（6、4）で3通り
12は（6、6）の1通り
合計1＋2＋3＋5＋5＋3＋1＝20

したがって確率は　 $\frac{20}{6^2}=\frac{5}{9}$

（答え） $\frac{5}{9}$

文章題

平成23年　慶應義塾女子高校

ある部活動の合宿を、部員全員の参加を見込んで計画し、費用の総額を部員人数で割って参加費を事前に集めた。しかし、合宿直前の練習でケガをした4名が合宿に参加できなくなった。合宿が終わってから、不参加者に9000円ずつ返金し、参加者から2000円ずつ、追加徴収したら、費用の総額に一致したという。部員の人数を求めよ。

【解説と解答】
合宿に参加できた人数は、9000×4÷2000＝18人
18＋4＝22人
（答え）22人

平面図形

平成22年　慶應義塾女子高校

長方形ABCDを辺ＡＢ上の点Fと頂点Dを通る線分を折り目にして折り返すと、頂点Aが辺BCの中点Eと重なる。辺ADの長さを $a$ として、次の問いに答えよ。
（1）線分AEの長さが $a$ であることを証明せよ。
（2）△DEFの面積が $\sqrt{3}$ であるとき、 $a$ の値を求めよ。

【解説と解答】
（1）図1

（答え）
図において、折り返したのでDE＝AD＝ $a$
EがBCの中点なので、BE＝EC＝ $\frac{1}{2}a$ 　　
□ABCDは長方形だから、AB＝DC　∠B＝∠C＝90°
から2組の辺と直角が等しいので、△ABE≡△ECDよりAE＝ $a$

（2）
△DECが60°、30°、90°の直角三角形になるので、∠ADF＝∠FDE＝30°、∠DEF＝∠DAF＝90°から
△DEFは30°、60°、90°の直角三角形になるので、FE:ED＝1： $\sqrt{3}$
ED＝ $a$ 　よりFE＝ $\frac{1}{\sqrt{3}}a$ 　　

$a$ × $\frac{1}{\sqrt{3}}a$ × $\frac{1}{2}$ ＝ $\sqrt{3}$

$\frac{a^2}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

$a^2$ ＝6

$a$ = $\sqrt{6}$

（答え） $\sqrt{6}$

立体図形

平成22年　慶應義塾女子高校

図1

図2

図1のような1辺の長さが3の立方体がある。この立方体の頂点Aから辺CD、辺GH上の点を通り、頂点Fを経由して、さらに辺ＢＣ、辺ＡＤ上の点を通って点Ｈまでひもをかける。そのひもの長さが最も短くなる場合に、ひもが辺CD、辺BC、辺AD上で通る点をそれぞれ、I、J、Kとし、線分AIと線分JKの交点をLとする。次の問いに答えよ。
（1）立方体の展開図（図2）に点Lの位置を図示せよ。
（2）線分AKの長さを求めよ。
（3）点Lから辺ABに垂線LMをひく。AM：MBを求めよ。
（4）線分BLの長さを求めよ。
（5）この立方体において、線分FLの長さを求めよ。

【解説と解答】
（1）
図のようになります。