関数

平成23年　慶應義塾志木高校

図のように、放物線C： $y=x^2$ と、 $x$ 軸の正の部分と30°の角をなして交わる直線ℓが、2点A、Bで交わっている。点Aの $x$ 座標を $a(a>0)$ とするとき、次の問いに答えよ。
（1）点Bの $x$ 座標を $a$ を用いて表せ。
（2）点Pを、直線ABと直線APが直交し、点Aと重ならないように、放物線C上にとる。∠ABP＝45°となるとき、 $a$ の値を求めよ。

【解説と解答】
（1）直線ℓの傾きは $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ になるので、Aが $(a,a^2)$ を通るので、直線ℓの方程式は

$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-a)+a^2$

となるから

$x^2=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-a)+a^2$

から

$x^2+\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}a+a^2=(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab$

したがって $a+b=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ より、 $b=-a-\frac{\sqrt{3}}{3}$
（答え） $-a-\frac{\sqrt{3}}{3}$

（2）

Pの $x$ 座標が $a$ より大きいときは、図1、小さい時は図2になります。
いずれの場合も
△ABmと△APｎは合同な三角形になります。

図1のとき、直線APの傾きは $\sqrt{3}$ になるので、直線APの方程式を

$y=\sqrt{3}x+k$

とすると、これが $(a,a^2)$ を通るので、 $a^2=\sqrt{3}a+k$ から $ｋ=a^2-\sqrt{3}a$ なので、

$x^2=\sqrt{3}x+a^2-\sqrt{3}a$

$x^2-\sqrt{3}x-a^2+\sqrt{3}a=(x-a)(x+a-\sqrt{3})$

からPのｘ座標は $\sqrt{3}-a$

図1のとき、 $nA=\sqrt{3}-2a$ ,

図2のとき、 $An=2a-\sqrt{3}$

nA＝Bmから、 $Bm=(-a-\frac{\sqrt{3}}{3})^2-a^2=\frac{2\sqrt{3}}{3}a+\frac{1}{3}$

図1の場合は、 $\sqrt{3}-2a=\frac{2\sqrt{3}}{3}a+\frac{1}{3}$

$a=\frac{5\sqrt{3}-6}{6}$

図2のとき、 $2a-\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a+\frac{1}{3}$

$a=\frac{5\sqrt{3}+6}{6}$

（答え） $\frac{5\sqrt{3}-6}{6}$ 、 $\frac{5\sqrt{3}+6}{6}$