式の値

平成21年　慶應義塾志木高校

x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}のとき、次の式の値を求めよ。

(1)x+\frac{1}{x}

(2)x^2+\frac{1}{x^2}

(3)x^3+\frac{1}{x^3}

【解説と解答】
(1)与式＝
\frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{2}{3+\sqrt{5}}
=\frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{2(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}
=\frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}
=3
（答え）3

(2)
(x+\frac{1}{x})^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2
より
与式＝3^2-2=7
（答え）7

(3)
(x+\frac{1}{x})^3=x^3+\frac{1}{x^3}+3(x+\frac{1}{x})
より
与式＝3^3-3\times3=18
（答え）18