「慶應義塾高校」カテゴリーアーカイブ

数と式

平成20年　慶應義塾高校

次の（　　　　）にあてはまる数を答えよ。
自然数を3で割ったときのあまりの数、0、1、2の和は3で割り切れる。このように、自然数を $n$ で割ったときの余りの数の和が $n$ で割り切れるような数は99未満に（　ア　）個あり、その数の和は（　イ　）である。

【解説と解答】
$n$ で割ったときのあまりは0から $n-1$ まで $n$ 個あり、その和は $\frac{(0+n-1)\times{n}}{2}$ なので、 $n-1$ が偶数のとき成立するから、 $n$ は奇数になる。
したがって1〜97までの奇数だから（97−1）÷2＋1＝49個･･･ア
またその和は（1＋97）×49÷2＝49×49＝2401･･･イ
（答え）ア　49　イ　2401

平面図形

平成20年　慶應義塾高校

図のような平行四辺形ABCDにおいて、AB＝ $a$ 、∠ABC＝ $x$ とする。ただし、0°< $x$ <90°とする。点Eは辺BC上の点でAE⊥BCである。また、辺AD上に点Gをとり、AEとBGの交点Fとすると、FG＝ $2a$ である。次の問いに答えよ。
（1）FGの中点をMとするとき、AMの長さを $a$ を用いて表せ。
（2）∠FBEの大きさを $x$ を用いて表せ。
（3） $x$ ＝45°のとき、BFの長さを $a$ を用いて表せ。

【解説と解答】

（1）FM＝MG＝ $a$ 、∠FAG＝90°から、Aは中心がMで半径が $a$ の円の円周上の点になる。したがってAM＝ $a$
（答え） $a$

（2）∠FBE＝∠AGM＝∠MAGから∠FBE＝ $y$ とすると、　∠AMF＝ $2y$
AB=AM= $a$ から∠ABF＝ $2y$ から∠ABE＝ $3y$ = $x$
したがって $y=\frac{1}{3}x$
（答え） $y=\frac{1}{3}x$

（3） $x$ ＝45°より $y$ ＝15° ∠ABM＝30°　AからBMに垂線を下ろし、BMとの交点をHとすると、AB＝AMよりBH＝HM
三角形ABH＝2：1： $\sqrt{3}$ よりBM=2BH＝ $\sqrt{3}a$
FM＝ $a$ よりBF＝ $\sqrt{3}a-a$
（答え） $(\sqrt{3}-1)a$

確率

平成20年　慶應義塾高校

大中小の3個のサイコロを同時に投げるとき、出る目の和が6になる確率を求めよ。

【解説と解答】
大中小と、サイコロが区別できています。
したがって全部の場合の数は $6^3$ =216

和が6になるのは、
（大、中、小）＝（4、1、1）（3、1、2）（3、2、1）（2、1、3）（2、2、2）（2、3、1）（1、4、1）（1、3、2）（1、2、3）（1、1、4）までの10通り。
したがって確率は $\frac{10}{216}=\frac{5}{108}$

（答え） $\frac{5}{108}$

関数

平成19年　慶應義塾高校

図のように、放物線 $y=x^2$ と傾き2の直線が2点A,Bで文字割っている。2点A、Bの $x$ 座標をそれぞれ $a$ , $b$ として、次の問いに答えよ。

① $b$ を $a$ で表しなさい。
②さらに、放物線上に点Cをとり、△ABCが∠A＝90°の直角二等辺三角形になるようにする。このとき、点Cの $x$ 座標を $a$ で表しなさい。
③ $a$ の値を求めなさい。

【解説と解答】
①
直線ABの方程式を $y=2x+k$ とすると、 $x^2=2x+k$ となり、この方程式が $(x-a)(x-b)$ になるので、 $a+b=2$ 　から　 $b=-a+2$
（答え） $b=-a+2$

②
直線ACの方程式は $y=-\frac{1}{2}x+m$ となり、 $x^2=-\frac{1}{2}x+m$ これが $(x-a)(x-c)$ になるので、 $a+c=-\frac{1}{2}$ 　　から　　 $c=-a-\frac{1}{2}$
（答え） $c=-a-\frac{1}{2}$

③AB＝ACからACの $x$ 座標の差とABの $y$ 座標の差が等しいので、

$a-(-a-\frac{1}{2})=(-a+2)^2-a^2$

$2a+\frac{1}{2}=-4a+4$

から
$a=\frac{7}{12}$
(答え） $\frac{7}{12}$

平面図形

平成20年　慶應義塾高校

△ABCの辺AB、BC、CA上にそれぞれD、E、Fをとる。BE：EC＝3：5で、△ABCの面積は1cm²である。△ABCの面積と四角形DBEFの面積が等しいとき、□ADECの面積を求めよ。

【解説と解答】

図で、BE：EC=3：5
△ABEと□DBEFが等しいので、DFとAEの交点をGODとしたとき、△ADGと△GEFの面積が等しくなる。
△ADGと△GEFに△AGFをそれぞれ加えても、面積は等しいから、△ADFと△AEFの面積が等しいので、AFとDEが平行になるので
AD：DB＝CE：EB＝5：3
△BDEの面積は
1× $\frac{3}{8}$ × $\frac{3}{8}$ ＝ $\frac{9}{64}$
になるので、
□ADECの面積は1− $\frac{9}{64}$ ＝ $\frac{55}{64}$