「慶應義塾志木高校」カテゴリーアーカイブ

式の値

平成21年　慶應義塾志木高校

$x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $x+\frac{1}{x}$

(2) $x^2+\frac{1}{x^2}$

(3) $x^3+\frac{1}{x^3}$

【解説と解答】
(1)与式＝
$\frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{2}{3+\sqrt{5}}$
$=\frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{2(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}$
$=\frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
$=3$
（答え）3

(2)
$(x+\frac{1}{x})^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2$
より
与式＝ $3^2-2=7$
（答え）7

(3)
$(x+\frac{1}{x})^3=x^3+\frac{1}{x^3}+3(x+\frac{1}{x})$
より
与式＝ $3^3-3\times3=18$
（答え）18

方程式

平成23年　慶應義塾志木高校

あるスキー場には、山の麓と頂上を結ぶ上りのリフトA、Bと下りのリフトCがあり、リフトのケーブルはそれぞれ平行である。また、3つのリフトの速さはそれぞれ一定で、椅子は等間隔に固定されている。速さが毎秒2mのAに乗ると、20秒ごとにBの椅子に追い越され、6秒ごとにCの椅子とすれ違う。BとCの速さが同じであるとき、その速さを求めよ。

【解説と解答】
リフトの間隔を $y$ mとし、BとCの秒速を $x$ mとすると、
AはCとすれ違ってから、次のCとすれ違うまでに6秒かかるので
$y=(x+2)\times6$
AはBに追い抜かれてから、次のBに追い抜かれるまで20秒かかるので
$y=(x-2)\times20$
となるから、
$(x+2)\times6=(x-2)\times20$
$6x+12=20x-40$
$14x=52$
$x=\frac{52}{14}=\frac{26}{7}$
（答え） $\frac{26}{7}$ m

関数

平成23年　慶應義塾志木高校

図のように、放物線C： $y=x^2$ と、 $x$ 軸の正の部分と30°の角をなして交わる直線ℓが、2点A、Bで交わっている。点Aの $x$ 座標を $a(a>0)$ とするとき、次の問いに答えよ。
（1）点Bの $x$ 座標を $a$ を用いて表せ。
（2）点Pを、直線ABと直線APが直交し、点Aと重ならないように、放物線C上にとる。∠ABP＝45°となるとき、 $a$ の値を求めよ。

【解説と解答】
（1）直線ℓの傾きは $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ になるので、Aが $(a,a^2)$ を通るので、直線ℓの方程式は

$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-a)+a^2$

となるから

$x^2=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-a)+a^2$

から

$x^2+\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}a+a^2=(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab$

したがって $a+b=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ より、 $b=-a-\frac{\sqrt{3}}{3}$
（答え） $-a-\frac{\sqrt{3}}{3}$

（2）

Pの $x$ 座標が $a$ より大きいときは、図1、小さい時は図2になります。
いずれの場合も
△ABmと△APｎは合同な三角形になります。

図1のとき、直線APの傾きは $\sqrt{3}$ になるので、直線APの方程式を

$y=\sqrt{3}x+k$

とすると、これが $(a,a^2)$ を通るので、 $a^2=\sqrt{3}a+k$ から $ｋ=a^2-\sqrt{3}a$ なので、

$x^2=\sqrt{3}x+a^2-\sqrt{3}a$

$x^2-\sqrt{3}x-a^2+\sqrt{3}a=(x-a)(x+a-\sqrt{3})$

からPのｘ座標は $\sqrt{3}-a$

図1のとき、 $nA=\sqrt{3}-2a$ ,

図2のとき、 $An=2a-\sqrt{3}$

nA＝Bmから、 $Bm=(-a-\frac{\sqrt{3}}{3})^2-a^2=\frac{2\sqrt{3}}{3}a+\frac{1}{3}$

図1の場合は、 $\sqrt{3}-2a=\frac{2\sqrt{3}}{3}a+\frac{1}{3}$

$a=\frac{5\sqrt{3}-6}{6}$

図2のとき、 $2a-\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a+\frac{1}{3}$

$a=\frac{5\sqrt{3}+6}{6}$

（答え） $\frac{5\sqrt{3}-6}{6}$ 、 $\frac{5\sqrt{3}+6}{6}$

立体図形

平成23年　慶應義塾志木高校

1辺の長さ2の立方体ABCDｰEFGHにおいて、辺CG上にCI：IG＝2：1となる点Iをとる。△BDEと線分AIの交点をJとするとき、次の問いに答えよ。

（1）三角錐A-BDEの体積を求めよ。
（2）AJ；JIを求めよ。

【解説と解答】
（1）2×2÷2×2÷3＝ $\frac{4}{3}$
（答え） $\frac{4}{3}$

（2）

図は立方体をAEGCを通る平面で切ったときのものです。
MはBDの中点です。
CI：IG＝AK：KE＝2：1からAM＝ $\sqrt{2}$ から、KL＝ $\frac{\sqrt{2}}{3}$ になるので、
LI＝ $2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{5\sqrt{2}}{3}$
からAM：LI＝AJ：JI＝3:5
（答え）3:5

因数分解

平成22年　慶應義塾志木高校
次の式を因数分解せよ。

$xy-xz-y^2-z^2+2yz$

【解説と解答】
与式＝

$x(y-z)-(y-z)^2$

＝

$(y-z)(x-y+z)$

場合の数

平成23年　慶應義塾志木高校

1から8までの数字が1つずつ書かれた8枚のカードを、順番にA、B、Cのいずれかの箱に入れていく、1枚もカードが入らない箱があっても良いものとして、次の問いに答えよ。

（1）カードの入れ方は何通りあるか。
（2）Aの箱にちょうど5枚入るカードの入れ方は何通りあるか。
（3）書かれた数字を消して箱に入れていく場合、A、B、Cの箱に入ったカードの枚数の組み合わせは、何通りあるか。

【解説と解答】
（1）どのカードもA、B、Cのどれかに入るので入り方は1が3通り、2も3通り、3も3通り、･･･、8も3通り。したがって全部で
$3^8$ =6561
（答え）6561通り

（2）（A、B、C）＝（5、0、3）（5、1、2）（5、2、1）（5、3、0）
（5、0、3）＝ ${}_8 C_3$ ＝ $\frac{8!}{3!(8-3)!}$ =56
（5、1、2）＝8× ${}_7 C_2$ ＝8× $\frac{7!}{2!(7-2)!}$ =168
56×2＋168×2＝112＋336＝448
（答え）448通り