関数

平成23年　慶應義塾女子高校

座標平面上において、 $y$ 軸上に点Aがあり、放物線 $y=\frac{1}{4}x^2$ 上に2点B、Cがある。点Aの $y$ 座標が $a$ 、点B、Cの $x$ 座標がそれぞれ、 $-2a$ 、 $p$ である。次の問いに答えよ。
ただし、 $a$ 、 $p$ は正の定数である。

（1）　直線ACの式を、 $a$ 、 $p$ を用いて表せ。
（2） $a=\frac{3}{2}$ とするとき、△OACの面積と△ABCの面積が等しくなるような $p$ の値を求めよ。

【解説と解答】
（1）Cの座標は（ $p$ ， $\frac{1}{4}p^2$ )、Aの座標は（0， $a$ ）であることから、直線ACの傾きは

$(\frac{1}{4}p^2-a)\div{p}=\frac{p^2-a}{4p}$

になり、直線ACのｙ切片は， $a$ になるので、求める方程式は

$y= \frac{p^2-a}{4p}x+a$

（2） $a=\frac{3}{2}$ のとき、Bの座標は（−3， $\frac{9}{4}$ )になるので、△AOCと△ABCの面積が等しくなるのは、直線BOと直線ACの傾きが同じになる場合が考えられる。

ここで直線OBの傾きは- $\frac{3}{4}$ になるので、直線ACの傾きも- $\frac{3}{4}$ 。直線ACの方程式は $y= -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$ になるから、放物線との交点Cの座標は,次の方程式の解となり、

$\frac{1}{4}x^2=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$

$p$ >0から

$p=　\frac{-3+\sqrt{33}}{2}$

となる。

またA0＝ADとなる点Dを考えると、△AOC＝△ADCだから、これが△ABCと同じになるには、ACとBDが平行になれば良い。

Dの座標は（0．3）、Bの座標は（−3， $\frac{9}{4}$ )だから直線BDの傾きは $\frac{1}{4}$ になるので、ACの傾きも $\frac{1}{4}$ 。したがって交点のｘ座標は、次の方程式の解となり、

$\frac{1}{4}x^2=\frac{1}{4}x+\frac{3}{2}$

$x^2-x-6=(x+2)(x-3)$

で $p$ >0　より $p$ ＝3

（答え） $\frac{-3+\sqrt{33}}{2}, 3$