比と割合に関する問題

2025年　慶應義塾普通部　算数5です。

濃さが6%の食塩水200gと、濃さが12%の食塩水300gを同じ容器にいれました。ただし、食塩水の濃さとは、食塩水の重さをもとにした食塩の重さの割合のことをいいます。
(1)この容器に入っている食塩水の濃さは何%ですか。
(2)この容器から水を蒸発させました。ここに、濃さが15%の食塩水を、蒸発させた水の重さと同じ重さだけ加えました。さらに水を加えたところ、食塩水の濃さは水を蒸発させる前と同じになりました。この容器に加えた、濃さが15%の食塩水の重さと水の重さの比を最も簡単な整数の比で求めなさい。

【解説と解答】
（１）200×0.06＝12g　300×0.12＝36g
　（12＋36）÷（200＋300）×100＝9.6

（答え）9.6％
（２） 500gの中に食塩が48g入っています。
蒸発させた水の重さを【100】とすると、15％の食塩水も【100】で、その中に【15】の食塩が入っています。
食塩：48＋【15】
これが9.6％になるためには食塩水全体では500＋【156.25】必要ですが、
15％の食塩水を入れた段階でまだ全体は500gですから、【156.25】不足しています。
したがって15％の水の量：新しく入れた水の量は
100：156.25＝400：625＝16：25

（答え）16：25

場合の数の問題

2025年　慶應義塾普通部の4番です。

すべて正方形に整備された道路を、A地点からB地点まで道のりが最も短くなるようにいきます。
（１）図１のような道路があります。行き方は何通りありますか。
（２）図２のように、CD間、EF間を通行止めにし、さらに新たに斜めの道路を4本つくりました。行き方は何通りありますか。

【解説と解答】
（１）
図のように、各交点で下からと左からの数字を足していきます。

AからBまでの行き方は126通りです。
（答え）126通り

（２）斜めの道があるので、これが必ずたてよこ２本の道よりも短くなります。
斜めの道を便宜上【0.６】の距離、正方形の1辺を【1】と考えると、途中ＡからＰまでは【2.6】で、ＰからＢまでは【3.6】で、ＤからＢまでは【4.6】で行く道を考えることになります。すると左の図のようになるので、合計15通りです。

（答え）15通り