数の性質に関する問題

2025年　慶應義塾普通部　算数7です。

4桁の整数について、上2桁と下2桁の和を考えます。たとえば、1234を上2桁と下2桁に分けると12と34で、その和は46です。
(1)2024から、2024の上2桁と下2桁の和である44をひいた数を、2つの整数の積で表します。2つの整数の差が最も小さいのは、いくつといくつの積ですか。
(2)2025は、2025の上2桁と下2桁の和である45でわり切れます。 2100未満の整数で、このようにもとの4桁の整数が、その整数の上2桁と下2桁の和でわり切れる数のうち、2番目に大きい整数はいくつですか。

【解説と解答】
（1）
2024―44＝1980で、これを素因数分解すると
2×2×3×3×5×11です。
36×55、44×45となるので、一番差が少ないのは44と45です。

（答え）44、45
（２）2099以下の数で、この数を2000＋AとしてAは2桁の整数と考えます。これが20＋Aで割り切れることになるので、
2000＋A－（20＋A）＝1980も20＋Aで割り切れることになります。
1980を素因数分解すると2×2×3×3×5×11で、20＋AはAが2桁の整数ですから119が最大です。

したがって最大は2×5×10＝110
2090÷（20＋90）＝19

1980＝110×18＝99×20ですから、次は11×9＝99
2079÷（20＋79）＝2079÷99＝21
（答え）2079

【解説動画】

（1）は（2）の伏線になっているところがあり、1980に気がつけるかがひとつのポイントでした。

速さに関する問題

2025年慶應義塾普通部　算数６です。

太郎君と次郎君がA地とB地を往復しました。下のグラフは、太郎君がA地とB地を往復したようすを表しています。次郎君は9時にB地を出発し、50分後にA地に着きました。A地で15分休んだ後、行きの2/3倍の速さでB地にもどりました。

（1） 次郎君がB地とA地を往復したようすを、解答用紙のグラフにかきいれなさい。
（2） 2人が1回目に出会った場所と2回目に出会った場所が1680 m 離れていたとき、A地とB地の間の道のりは何mですか。

【解説と解答】

（1）グラフは1目盛りが5分です。9時に出発して9時50分につき、15分休んだあと、2/3の速さで戻ると、1.5倍の時間がかかるので、50×1.5＝75分後に到着するから、
10時5分に出発して、11時20分に到着します。したがってグラフは以下の通りです。

（2）グラフから太郎君は9時20分にＡ地を出発して10時20分にB地につき、30分休んで10時50分にB地を出発、Ａ地に11時35分に到着しています。

PB＝80分　ＡＱ＝30分からＡＭ：ＭＢ＝3：8
CS＝30分　ＲＤ＝90分からＣＮ：ＮＤ＝1：3
したがってＭＮ間はＡＢ間の3/4－3/11＝(33-12)/44＝21/44＝1680ｍ
ＡＢ間は1680÷21/44＝3520ｍ

（答え）3520ｍ

【解説動画】