平成23年 慶應義塾女子高校
座標平面上において、軸上に点Aがあり、放物線上に2点B、Cがある。点Aの座標が、点B、Cの座標がそれぞれ、、である。次の問いに答えよ。
ただし、、は正の定数である。
(1) 直線ACの式を、、を用いて表せ。
(2)とするとき、△OACの面積と△ABCの面積が等しくなるようなの値を求めよ。
【解説と解答】
(1)Cの座標は(,)、Aの座標は(0,)であることから、直線ACの傾きは
になり、直線ACのy切片は,になるので、求める方程式は
(2)のとき、Bの座標は(−3,)になるので、△AOCと△ABCの面積が等しくなるのは、直線BOと直線ACの傾きが同じになる場合が考えられる。
ここで直線OBの傾きは-になるので、直線ACの傾きも-。直線ACの方程式はになるから、放物線との交点Cの座標は,次の方程式の解となり、
>0から
となる。
またA0=ADとなる点Dを考えると、△AOC=△ADCだから、これが△ABCと同じになるには、ACとBDが平行になれば良い。
Dの座標は(0.3)、Bの座標は(−3,)だから直線BDの傾きはになるので、ACの傾きも。したがって交点のx座標は、次の方程式の解となり、
で>0 より=3
(答え)