平成22年 慶應義塾女子高校
図1
図2
図1のような1辺の長さが3の立方体がある。この立方体の頂点Aから辺CD、辺GH上の点を通り、頂点Fを経由して、さらに辺BC、辺AD上の点を通って点Hまでひもをかける。そのひもの長さが最も短くなる場合に、ひもが辺CD、辺BC、辺AD上で通る点をそれぞれ、I、J、Kとし、線分AIと線分JKの交点をLとする。次の問いに答えよ。
(1)立方体の展開図(図2)に点Lの位置を図示せよ。
(2)線分AKの長さを求めよ。
(3)点Lから辺ABに垂線LMをひく。AM:MBを求めよ。
(4)線分BLの長さを求めよ。
(5)この立方体において、線分FLの長さを求めよ。
【解説と解答】
(1)
図のようになります。
(2)
図から△HKDと△AKは1:2の相似になるので、AK:KD=2:1からAK=2
(答え)2
(3)
AK=2、BJ=1、JF=9−1=8からAK:JF=AL:LF=1:4=AM:ABよりAM:MB=1:4
(答え)1:4
(4)AF:MF=10:9からML=,
MB=から
=+=9
よりBL=3
(答え)3
(5)
図からBL=BF=3で∠LBF=90°から、FL=3
(答え)3