2013年慶應湘南の問題です。
底面の半径が6cm、高さが20cmの円柱の容器がある。この円柱の容器には、図1のように2つのしきりア、イがついている。Oは底面の円の中心であり、軸00′は底面に垂直である。しきりアはたてが20cm、横が6cm、しきりイはたてが10cm、横が6cmの長方形で、容器の底面に垂直である。
しきりアは固定されており、しきりイはOO′を軸として回転する。図2は円柱の容器を上から見た図である。はじめ、Aの部分の底面のおうぎ形の中心角は250°で、Aの部分には628cm3の水が入っており、Bの部分は空である。なお、しきりの厚さは考えないものとし、しきりと容器のすきまから水はもれないものとする。また、円周率は3.14とする。
しきりイを、はじめは時計回りに毎分12°ずつ回転させる。
（1）Aの部分からBの部分に水がこぼれ始めるのは、しきりイを回転させ始めてから何分何秒後ですか。
（2）Bの部分の水面の高さが2cmとなるのは、しきりイを回転させ始めてから何分何秒後ですか。
Bの部分の水面の高さが2cmとなった時点で、しきりイを反時計回りに毎分12。ずつ回転させる。
（3）Aの部分とBの部分の水面の高さの比が7：2になるのは、反時計回りに回転させ始めてから、何分何秒後ですか。
（解説と解答）
（１）Aの底面積が628÷10＝62.8㎝2 になったら一杯になります。
6×6×3.14× x/360＝62.8より ｘ＝200°
（250－200）÷12＝50÷12＝4 1/6 分＝4分10秒後
（答え）4分10秒後
（２）Aはいっぱいになっているのでこのとき体積は
6×6×3.14×2＋Aの底面積×8と考えることができます。
628＝3.14×200なので Aの底面積は（200－72）÷8＝16より16×3.14になります。
全体の底面積は36×3.14なのでAの角度は160°。
（250－160）÷12＝7.5分＝7分30秒後
（答え）7分30秒後
（３）Bの中心角は360－160＝200°ですから入っている水の量は6×6×3.14×200/360×2＝40×3.14
200－40＝160よりAには160×3.14入っていますから体積の比はA：B＝4：1です。
これが高さの比が7：2になるのは底面積の比が 4/7：1/2 ＝8：7になるときですから、
Bの中心角は360÷（8＋7）×7＝168°。したがって200－168＝32°減るので
32÷12＝2 2/3分＝2分40秒
（答え）2分40秒
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