2025年 慶應義塾普通部 算数7です。
4桁の整数について、上2桁と下2桁の和を考えます。たとえば、1234を上2桁と下2桁に分けると12と34で、その和は46です。
(1)2024から、2024の上2桁と下2桁の和である44をひいた数を、2つの整数の積で表します。2つの整数の差が最も小さいのは、いくつといくつの積ですか。
(2)2025は、2025の上2桁と下2桁の和である45でわり切れます。 2100未満の整数で、このようにもとの4桁の整数が、その整数の上2桁と下2桁の和でわり切れる数のうち、2番目に大きい整数はいくつですか。
【解説と解答】
（1）
2024―44＝1980で、これを素因数分解すると
2×2×3×3×5×11です。
36×55、44×45となるので、一番差が少ないのは44と45です。
（答え）44、45
（２）2099以下の数で、この数を2000＋AとしてAは2桁の整数と考えます。これが20＋Aで割り切れることになるので、
2000＋A－（20＋A）＝1980も20＋Aで割り切れることになります。
1980を素因数分解すると2×2×3×3×5×11で、20＋AはAが2桁の整数ですから119が最大です。
したがって最大は2×5×10＝110
2090÷（20＋90）＝19
1980＝110×18＝99×20ですから、次は11×9＝99
2079÷（20＋79）＝2079÷99＝21
（答え）2079
【解説動画】
（1）は（2）の伏線になっているところがあり、1980に気がつけるかがひとつのポイントでした。