規則性に関する問題

2021年慶應湘南の問題です。

AさんとBさんは同じ数ずつ玉を持っていて,次のような作業をする。
① Aさんの持っている玉のうち半分をBさんにわたす。
② Bさんの持っている玉のうち半分をAさんにわたす。
  ①,②の順にくり返し作業を行い,持っている玉の個数が奇数になったら終わる。
 右の図は最初にAさんが8個,Bさんが8個玉を持っている場合の例であり,玉をわたす作業は3回行われたので,作業の回数は「3」と考えることにする。次の( ア )~( オ )にあてはまる数を答えなさい。

(1)Aさん,Bさんはそれぞれ最初に40個ずつ持っている。この作業が終わったときにAさんは( ア )個の玉を持っていて,作業の回数は( イ )です。
(2)Aさん,Bさんはそれぞれ最初に( ウ )個ずつ持っている。この作業が終わったときにAさんは63個,Bさんは129個の玉を持っていて,作業の回数は( エ )です。

【解説と解答】
(1)
最初 1 2 3
A 40 20 50 25
B 40 60 30 55
となるので、アは25 イ 3

(2)
最終 4 3 2 1 最初
A 63 126 60 120 48 96
B 129 66 132 72 144 96
図のように戻すと、お互いに96個持っていて、作業の回数は5回
ウ 96 エ 5

(3)
A 1 1/2 5/4 5/8 21/16 21/32 85/64 85/128 341/256 341/512 1365/1024
B 1 3/2 3/4 11/8 11/16 43/32 43/64 171/128 171/256 683/512 683/1024
割合でみると上の表のようになります。
ここで3072を素因数分解すると、3×1024ですから、分母が1024になるとき、奇数になるから10回目です。
(答え)10回目

カテゴリー: 入試問題解説, 湘南藤沢中等部 パーマリンク