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平面図形の問題

2024年慶應義塾普通部の問題です。

下の図のような四角形ABCDで、頂点Ｄを通り辺ＡＢに平行な直線と辺ＢＣとの交点をＥとします。点ＦはAE とBDの交点です。AB＝AD＝AE=BF＝CDであるとき、あといの角度をそれぞれ求めなさい。

【解答と解説】

（１）図のように考えると、
∠BAF＝∠AFB＝△　∠ABF＝○とすれば、△と○は図のようになります。
△AFDにおいて外角から、△が○２個分であることがわかるので、
180°＝○5つ分になるから
180÷5＝36°
△＝72°です。
△ABEも二等辺三角形になるので、（180−72）÷2＝54

（答え）54°

（２）AD＝DCなので、DからＢＣに直交する線を引き、Dを中心に半径DCの円との交点をGとします。AD＝DGなので、∠DGE＝○また　
∠ADH＝108°だから、∠EDHも○です。

したがって三角形EGDは二等辺三角形になり、DHとBCが直交しているので、DHはDCの半分になるから、三角形DHCは正三角形の半分で、∠CDH＝60°
したがって○いは∠CDH＋○＝96°

（答え）96°