トーナメントの問題

2008年慶應湘南の問題です。


2、4、8、16、・・・、のように、2をいくつかかけ合わせた数のチーム数が参加するトーナメント(勝ち抜き戦)を考える。1つのトーナメントで行われる各試合が何回戦かを示す書く数字をすべて加えた数をNで表す。
 たとえば、チーム数が8の時には左の図のようなトーナメントとなり、1回戦が4試合、2回戦が2試合、3回戦が1試合行われるので○の中の数字を足して、N=1+1+1+1+2+2+3=11となる。

(1)チーム数が16であるトーナメントでは、Nはいくつになりますか。
(2)6回戦が決勝戦となるトーナメントでは、Nはいくつになりますか。
(3)あるチーム数のトーナメントではNが4083となった。この2倍のチーム数のトーナメントでは、Nが8178になるという。Nが4083となるときのチーム数を求めなさい。


(1)
16チームでは1回戦が16÷2=8試合 2回戦が8÷2=4試合 3回戦が4÷2=2試合 4回戦が1試合なので
1×8+2×4+3×2+4×1=8+8+6+4=26
(答え)26
(2)
6回戦が1、5回戦が2、4回戦が4、3回戦が8、2回戦が16、1回戦が32
1×32+2×16+3×8+4×4+5×2+6×1
=32+32+24+16+10+6=120 
(答え)120

(3)
8チームと16チームの場合を比べてみましょう。
8チームのときは1×4+2×2+3×1=11
16チームのときは1×8+2×4+3×2+4×1=26
8チームのNを2倍すると1×8+2×4+3×2=22となって、決勝戦の部分だけ足りません。
N=4083ですから2倍すると4083×2=8166です。
次のN=8178ですから8178-8166=12なので、N=8178のときの決勝戦は12回戦すなわち⑫だったことがわかります。
とすればN=4083の決勝戦は⑪だったことになるので、11回戦で2チーム、10回戦で4チーム、9回戦で8チームともどしていけばよいことになります。
結局2を決勝戦の○の数字分だけかけたのが、チーム数になるので、
2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=2048チーム
(答え)2048チーム

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