2008年慶應湘南の問題です。
２、４、８、16、･･･、のように、２をいくつかかけ合わせた数のチーム数が参加するトーナメント（勝ち抜き戦）を考える。１つのトーナメントで行われる各試合が何回戦かを示す書く数字をすべて加えた数をNで表す。
たとえば、チーム数が８の時には左の図のようなトーナメントとなり、１回戦が４試合、２回戦が２試合、３回戦が１試合行われるので○の中の数字を足して、N＝１＋１＋１＋１＋２＋２＋３＝11となる。
（１）チーム数が16であるトーナメントでは、Nはいくつになりますか。
（２）６回戦が決勝戦となるトーナメントでは、Nはいくつになりますか。
（３）あるチーム数のトーナメントではNが4083となった。この２倍のチーム数のトーナメントでは、Nが8178になるという。Nが4083となるときのチーム数を求めなさい。
（１）
16チームでは１回戦が16÷２＝８試合 ２回戦が８÷２＝４試合 ３回戦が４÷２＝２試合 ４回戦が１試合なので
１×８＋２×４＋３×２＋４×１＝８＋８＋６＋４＝26
（答え）26
（２）
６回戦が１、５回戦が２、4回戦が４、３回戦が８、２回戦が16、1回戦が32
１×32＋２×16＋３×８＋４×４＋５×２＋６×１
＝32＋32＋24＋16＋10＋６＝120
（答え）120
（３）
８チームと16チームの場合を比べてみましょう。
８チームのときは１×４＋２×２＋３×１＝11
16チームのときは１×８＋２×４＋３×２＋４×１＝26
８チームのNを２倍すると１×８＋２×４＋３×２＝22となって、決勝戦の部分だけ足りません。
N＝4083ですから２倍すると4083×２＝8166です。
次のN＝8178ですから8178－8166＝12なので、N＝8178のときの決勝戦は12回戦すなわち⑫だったことがわかります。
とすればN＝4083の決勝戦は⑪だったことになるので、11回戦で２チーム、10回戦で４チーム、９回戦で８チームともどしていけばよいことになります。
結局２を決勝戦の○の数字分だけかけたのが、チーム数になるので、
２×２×２×２×２×２×２×２×２×２×２＝2048チーム
（答え）2048チーム
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