流水算

2015年慶應湘南の問題です。


ある会社は、川の下流にある船着き場Pから25kmはなれた上流にある船着き場Qまで荷物を運んでいる。この川の流れの速さは毎時2kmである。
この会社は船Aと船Bの2そうを持っており、船Aと船Bの、静水時の速さはどちらも荷物を積んでいれば毎時12km、荷物を積んでいなければその1.5倍の速さになる。積むことのできる荷物の量も等しい。
船Aは毎日午前8時にPを出発し、その2時間後に船BがPを出発する。どちらの船もPで荷物を積んで、Qに着いたら荷物を降ろし、荷物を積まずにPまで戻る。これを船着き場が閉まる午後7時までくり返す。ただし、船着き場が閉まる前にPに戻れなくなるような船は、Pを出発しない。また、荷物の積み下ろしの時間は考えないものとする。
(1)船がPとQの間を往復するのにかかる時間は何時間何分ですか。
(2)船Aと船Bが1日の中で最後にすれちがう地点のPからの距離は何kmですか。
(3)運ばなければならない荷物の量が増えてしまい、この会社は次の2つの対策を考えた。この2つの対策を両方行うと、1日に運ぶことのできる荷物の量はいままでの何倍になりますか。
・船着き場を閉める時間を2時間おそくする。
・速さが同じで、積むことのできる荷物の量が1.5倍である船Cを追加する。船Cは午前9時にPを出発し、同様にPとQの間を往復する。


【解説と解答】
(1)静水時の時速は荷物があるときは12km、ないときは12×1.5=18km。Pが下流でQが上流です。したがって船AはPからQまでは10km、QからPまでは20kmの時速になるので、25÷10+25÷20=2.5+1.25=3.75時間=3時間45分
(答え)3時間45分

(2)船Bも同じく往復で3時間45分かかるが、Aよりも2時間出発が遅いことになります。これをグラフにすると

となり、2往復すると3時間45分×2=7時間30分なので、3回往復すると11時間15分となり、19時までに終わらない。
したがって最後にすれ違うのはPになるので、三角形PQRと三角形PSTの相似からQP:PT=105:120=7:8
Pからは25÷(7+8)×7=11\frac{2}{3}
(答え)11\frac{2}{3}km

(3)船着き場が21時までになると、Aはもう1回行けます。しかしBは17時30分+3時間45分=21時15分ですから、行けません。
Cは9時に出ると、Aより1時間遅いだけなので3回行けます。
したがってA、Bの量を【1】とすると、対策前は【4】であったのに対して、対策後は【3】+【1.5】×3+【2】=【9.5】になるので、
9.5÷4=2.375倍(=2\frac{3}{8}倍)
(答え)2\frac{3}{8}


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