場合の数の問題

2012年の普通部の問題です。


A と B の 2 チームが対戦し、先に 4 回勝った方が優勝となる野球の試合があります。
① 引き分けがない場合で、6 回試合をして A が優勝するときの勝ち負けを表すと、 例えば、次のようになります。

1回 2回 3回 4回 5回 6回
× ×

この例以外に、6 回目の試合で A の優勝が決まるのは何通りありますか。

② 引き分けがある場合で、6 回目の試合で優勝が決まるのは何通りありますか。
(解説と解答)

4勝して勝ちで、6戦するわけですから、勝敗としては4勝2敗です。最後が勝ちになるわけだから5回のうち3回が勝ち、2回が負け。したがって1回から5回の中で負けを2回選べばよいことになります。
これは5つの中から2つを選ぶ組み合わせだから
5×4÷2=10
になるので、10 通りになります。
この例を除くので 10-1=9 通りになります。
(答え)9 通り

4勝1敗1引き分け・・・(あ)
4勝0敗2引き分け・・・(い)
の2つの場合が考えられます。
最後に勝って優勝ですから、1回目から5回目の試合では
3勝 1 敗1引き分け 3勝 0 敗2引き分けです。
(あ)は5回の中から1回の引き分けと1回の負けを選ぶのでこの場合は5×4=20 通り
(い)は同じですから 10 通りずつ。
したがって合計は 10+20=30 通り ということになります。
これがそれぞれ2チームに考えられるので、30×2=60 通り

(答え)60 通り

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