正六角形の注意点

ここのところ、正六角形の問題は普通部ばかりでなく、よく出題されます。

正六角形は以下のように分けられます。

A、B、Cはそれぞれ6つに分かれていますが、すべて同じ面積になります。

DはCをさらに細かく12等分しているものです。したがって斜線部分の長方形はAの1つの正三角形と同じ面積になります。

EはBとAを組み合わせたもので、これも12等分になっていますが、すべて同じ直角三角形に分かれており、1つ1つは正三角形の半分ですから、30°、60°、90°の直角三角形になるので、一番長い辺は一番短い辺の2倍になっています。

したがってこれらの図形を基本として、あとはそれを分けていく、というように考えていけば良いことになります。

以下は平成18年 普通部の8番です。


正六角形ABCDEFがあり、図のように点PをAPの長さがAFの 1/3になるように、点QをCQの長さがCDの1/2となるようにとります。

 ① ウの面積は正六角形ABCDEFの面積の何分のいくつですか。
 ② ア、イ、ウの面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。


①ウの面積は三角形CDEの半分です。
三角形CDEは正六角形の6分の1ですから、

1/6×1/2=1/12

になります。

②アは三角形ABCが正六角形の1/6

長方形ACDFは正六角形から1/6を2つ取りますから2/3。

AF=6とするとAP=2 CQ=3

長方形ACDFを台形と考えると上底+下底=6×2=12

台形ACQPの上底+下底は2+3=5ですから

台形ACQPは2/3×5/12=5/18

1/6+5/18=4/9 がアの割合。

ウは1/12 したがってイの割合は

イ=1-1/12ー4/9=17/36

したがってア:イ:ウ=4/9 :17/36:1/12=16:17:3

(答え)16:17:3

ここでは三角形CDEが6分の1の三角形であることから考えを進めています。正六角形の問題はそれを構成する正三角形や直角三角形を使って考える問題が多いので、A~Eのパターンをしっかり覚えておきましょう。


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