速さに関する問題

2015年普通部の問題です。


兄と弟が家から10kmのところにある公園へ行きました。兄は午前9時に歩きはじめ、途中で15分間休みました。その後、休む前より速く歩きました。弟は兄より後に家を出発し、自転車で公園に向かいました。途中30分間休みましたが、兄より先に公園につきました。
下のグラフは、兄が家を出発してから公園に着くまでの時間と、兄弟の速さの差の関係を表したものです。

(1)はじめに弟が兄に追いつくのは何時何分ですか。

(2)2回目に弟が兄に追いつくのは、公園から何km手前ですか。


(1)グラフは兄が出発してからですから、最初の分速70mというのは兄の速さです。で、60分後に弟が出発して、差が130mになったということは弟の分速は70+130=200mということになります。
しかし、100分後二人の速さの差が0になっているので、二人とも止まったということになります。同時に休むと兄の方が早くスタートしますが、その時兄の速さが100mになれば、
弟が再び出発した後もずっと差は100mであることになります。

100分後に兄は70×100=7000mのところで休みます。
一方弟は出発したのが兄が出発してから60分後ですから、弟が休むのは200×40=8000mですから、途中で兄を抜いています。
したがって弟が出発してから70×60÷130=\frac{420}{13}=32\frac{4}{13}分後に追いつくので、10時32\frac{4}{13}
(答え)10時32\frac{4}{13}

(2)100分後、兄は家から7000m、弟は8000mのところにいます。
兄は弟よりも15分早く出てしまい、その時の速さは分速100mですから、弟が出発するときには7000+100×15-8000=500m兄が先にいます。
したがって500÷100=5分後に弟は兄に追いつくので、弟は45分移動しますから、
200×45=9000m=9kmのところで追いつきます。したがって公園の手前1kmになります。
(答え)1km

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