2025年　慶應義塾湘南藤沢中等部　算数3です。

図のような一辺10mの正方形の柵がある。柵にはＡを中心に内側にのみ開く戸が１つあり、Ｂの位置には一頭の羊がロープでつながれている。ロープの長さは１ｍから10mの間で固定することができる。戸や柵の厚さ、および羊の大きさは考えないものとし、羊の位置はロープの端と考える。円周率は3.14として、以下の問いに答えなさい。
（１）戸が閉まっている状態から、図のように内側に全開になるまでの、戸が開いた角度を求めなさい。

（２）戸が図のように内側に全開の状態で、ロープの長さを10mで固定したときの、羊の動ける範囲の面積を求めなさい。

（３）戸が閉まっている状態で、羊が動ける範囲の周囲の長さ（直線の部分も含む）を測ったところ、46.4mであった。このとき、ロープの長さを何ｍに固定しましたか。

【解説と解答】

（1）三角形ACDでAD＝6ｍ、AC＝3ｍですから、三角形ＡＣDは正三角形の半分の直角三角形になるので、角DAC＝60°から、戸が開いた角度は180―60＝120°
（答え）120°

（２）下図のように動くことができます。

Bが中心でBE＝BF＝10m
BJ＝6m、EJ＝IJ＝4ｍ
FC＝GC＝6ｍ
AG＝AH＝3mで角GAHは120°ですから、
10×10×3.14×1/2
＋（6×6＋4×4）×3.14×1/4
＋3×3×3.14×1/3
＝（50＋13＋3）×3.14
＝66×3.14＝207.24

（答え）207.24m2

（3）ロープの長さを【1】とすると羊が動ける範囲の周りの長さは
【2】×3.14×1/2＋（【1】－4）×2×3.14×1/4＋（【1】－6）×2×3.14×1/4＋10＋【1】－4＋【1】－6
＝（【1】＋【0.5】－2＋【0.5】－3）×3.14＋10＋【1】－4＋【1】－6
＝（【2】－5）×3.14＋【2】＝
【8.28】－15.7＝46.4
（46.4＋15.7）÷8.28＝7.5

（答え）7.5m