数の性質に関する問題

2022年慶應普通部の問題です。

1から100までの整数を使って,50個の分数1/2,3/4,5/6,…,97/98,99/100をつくりました。これらの分数を小数にしたとき,割り切れるものはいくつありますか。例えば,1/4を小数にすると0.25となり割り切れますが,1/3は0.333…となり割り切れません。

【解説と解答】
これらの分数は、分母が偶数で、分子はそれより1小さい奇数です。したがってすべて既約分数になります。
分母が偶数なので
2、2×2、2×2×2、と考えると2×2×2×2×2×2=64までいくので6個。
分母が10の倍数は、10、20、40、50、80、100があてはまるので6個。
(答え)12個

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