2022年慶應湘南藤沢中等部の問題です。

次の図は、たて24 cm、 横32 cm、 対角線の長さが40cmの長方形ＡＢＣＤである。また、ＢＤを直径とする半円を図のようにかくと点Ｃは半円上にある。このとき、次の問いに答えなさい。ただし、円周率は3.14とする。
（１）かげのついた部分の周りの長さを求めなさい。
（２）かげのついた部分の面積を求めなさい。
（３）長方形ＡＢＣＤをＢＤを折り目として折り返したとき、頂点Ｃの移る点をＥ、ＢＥとＡＤの交点をＦとする。このとき、三角形ＢＤＦの面積を求めなさい。

【解説と解答】

（１）40×3.14÷２＋24＋32＝62.8＋56＝118.8
（答え）118.8cm
（２）20×20×3.14÷２－24×32÷２
＝628－384＝244
（答え）244cm2
（３）三角形ABFと三角形EFDは合同の直角三角形です。
三角形FBDはFB＝FDの二等辺三角形になるので、FからBDに垂線を下した線とBDの交点をOとするとBO＝ODとなり、三角形BFOは直角三角形。
ここで角FBOと角DBCが等しいので、三角形FBOと三角形BDCが相似。
BO＝20cmからFO＝20×24/32＝15cmになるので、
三角形FBD＝40×15÷２＝300
（答え）300cm２