つるかめ算なんですが・・・

平成21年の普通部の算数の問題

つるかめ算なのですが、最初に考えなければいけないことがあります。


5円玉と1円玉が合計55枚ありました。できるだけ硬貨の枚数が少なくなるように10円玉に両替したところ、硬貨の枚数は15枚になり、そのうち1円玉は2枚でした。最初に1円玉は何枚ありましたか。


枚数を一番少なくして10円玉に両替したのだから、5円玉は1枚か0枚かのどちらかなのです。

ではどちらか。

5円玉と1円玉は両方で55枚あった、ということはどちらかが奇数で、どちらかが偶数になります。ということは、合計金額は必ず奇数になりますね。

ここがポイントです。

5×偶数+1×奇数=奇数
5×奇数+1×偶数=奇数

なのです。だから、10円玉に両替した後は、5円玉が1枚なければ奇数になりません。

10円×A+5円×1+1円×2=奇数
10円×A+5円×0+1円×2=偶数

になるからです。

したがって両替したときに10円玉は12枚 5円玉が1枚 1円玉が2枚

10×12+5×1+1×2=127円が全体です。

ここまでくればあとはつるかめ算で、

{127-(1×55)}÷(5-1)=72÷4=18枚 が5円玉の数になります。 55-18=37枚が1円玉の枚数です。

(答え)37枚

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