慶應湘南算数の3番

2009年から3年間、3番はなぜか、規則性の問題になっています。

規則性は、もちろん頻出テーマなのですが、なぜか3番に出てくるようで。

2010年の3番です。


大きさの異なる正方形のカードを、図のようにある規則にしたがってならべる。それぞれのカードには、1cm四方のます目が書いてあり、左上のます目から1、2、3、…と順番に数が書かれている。次の口にあてはまる数を答えなさい。
 なお、「左下のます目の数」とは、1番目のカードでは1、2番目のカードでは7、3番目のカードでは21のことである。

(1)1辺が21cmのカードの「左下のます目の数」は口である。
(2)「左下のます目の数」が1057であるカードは、口番目のカードである。
(3)「左下のます目の数」の1の位の数が3であるカードは、1番目から100番目までの100枚のカードの中に口枚ある。


(1)は21㎝のカードだから1辺に21個ある。それが20回繰り返されてあと1つという位置ですから 21×20+1=421 とわかります。
(答え)421

(2)(1)から考えると1辺にn㎝の「左下のます目の数」というのは n×(n-1)+1=1057  ということになります。
1057-1=1056
でこれを素因数分解すると2×528=2×2×264=2×2×2×132=2×2×2×11×12=2×2×2×2×2×3×11=32×33 なのでn=33

1辺33㎝は 1、3、5・・と並んでいるので (33-1)÷2+1=17番目ということになります。

(答え)17番目

(3)
奇数の1の位は1、3、5、7、9とあり、それより1小さい偶数の1の位は0、2、4、6、8となりますから n×(n-1)の1の位は0、6、0、2、2となって1たすと1、7、1、3、3と繰り返します。

したがって5回に2回でてくるので、

100÷5×2=40枚 あることになります。

書き出してみると、

1、7、21、43、73 、111、157、211、273、343、421…

となるので、繰り返しだなと気が付くかもしれません。

(答え)40枚

ちなみに今年は図形の問題に変わっていました。さすがに3年続くと、変わるのでしょう、きっと。

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