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平面図形の問題

2024年慶應義塾普通部の問題です。

下の図のような四角形ABCDで、頂点Dを通り辺ABに平行な直線と辺BCとの交点をEとします。点FはAE とBDの交点です。AB=AD=AE=BF=CDであるとき、あといの角度をそれぞれ求めなさい。

【解答と解説】

(1)図のように考えると、
∠BAF=∠AFB=△ ∠ABF=○とすれば、△と○は図のようになります。
△AFDにおいて外角から、△が○2個分であることがわかるので、
180°=○5つ分になるから
180÷5=36°
△=72°です。
△ABEも二等辺三角形になるので、(180−72)÷2=54

(答え)54°

(2)AD=DCなので、DからBCに直交する線を引き、Dを中心に半径DCの円との交点をGとします。AD=DGなので、∠DGE=○また 
∠ADH=108°だから、∠EDHも○です。

したがって三角形EGDは二等辺三角形になり、DHとBCが直交しているので、DHはDCの半分になるから、三角形DHCは正三角形の半分で、∠CDH=60°
したがって○いは∠CDH+○=96°

(答え)96°