流水算

湘南の算数で5番、6番は例年難しくなります。
条件が複雑になる、という点で言えば、流水算が出題されるケースは多く、過去にも複雑な問題がありました。

これは、2015年慶應湘南の問題です。


ある会社は、川の下流にある船着き場Pから25kmはなれた上流にある船着き場Qまで荷物を運んでいる。この川の流れの速さは毎時2kmである。
この会社は船Aと船Bの2そうを持っており、船Aと船Bの、静水時の速さはどちらも荷物を積んでいれば毎時12km、荷物を積んでいなければその1.5倍の速さになる。積むことのできる荷物の量も等しい。
船Aは毎日午前8時にPを出発し、その2時間後に船BがPを出発する。どちらの船もPで荷物を積んで、Qに着いたら荷物を降ろし、荷物を積まずにPまで戻る。これを船着き場が閉まる午後7時までくり返す。ただし、船着き場が閉まる前にPに戻れなくなるような船は、Pを出発しない。また、荷物の積み下ろしの時間は考えないものとする。
(1)船がPとQの間を往復するのにかかる時間は何時間何分ですか。
(2)船Aと船Bが1日の中で最後にすれちがう地点のPからの距離は何kmですか。
(3)運ばなければならない荷物の量が増えてしまい、この会社は次の2つの対策を考えた。この2つの対策を両方行うと、1日に運ぶことのできる荷物の量はいままでの何倍になりますか。
・船着き場を閉める時間を2時間おそくする。
・速さが同じで、積むことのできる荷物の量が1.5倍である船Cを追加する。船Cは午前9時にPを出発し、同様にPとQの間を往復する。


【解説と解答】
(1)静水時の時速は荷物があるときは12km、ないときは12×1.5=18km。Pが下流でQが上流です。したがって船AはPからQまでは10km、QからPまでは20kmの時速になるので、25÷10+25÷20=2.5+1.25=3.75時間=3時間45分
(答え)3時間45分

(2)船Bも同じく往復で3時間45分かかるが、Aよりも2時間出発が遅いことになります。これをグラフにすると

となり、2往復すると3時間45分×2=7時間30分なので、3回往復すると11時間15分となり、19時までに終わらない。
したがって最後にすれ違うのはPになるので、三角形PQRと三角形PSTの相似からQP:PT=105:120=7:8
Pからは25÷(7+8)×7=11$$\frac{2}{3}$$
(答え)11$$\frac{2}{3}$$km

(3)船着き場が21時までになると、Aはもう1回行けます。しかしBは17時30分+3時間45分=21時15分ですから、行けません。
Cは9時に出ると、Aより1時間遅いだけなので3回行けます。
したがってA、Bの量を【1】とすると、対策前は【4】であったのに対して、対策後は【3】+【1.5】×3+【2】=【9.5】になるので、
9.5÷4=2.375倍(=2$$\frac{3}{8}$$倍)
(答え)2$$\frac{3}{8}$$倍

しっかり条件をグラフをにしてヒントを見つけてください。


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売買損益算のポイント



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正解率を上げるために何をするのかを決める

テストを受けたら答案をチェックしてみてください。

すでに本人も気がついているとは思うのですが、ミスの傾向というものがあるはずです。

1 問題の指示にしたがっていない。

2 問題の条件を読み違えた。

3 計算ミスをした。

などなど、本人がよくやるミスの形があるでしょう。

本当ならばできた問題を落とすというのが、いちばんもったいない。逆に言えば、点数を伸ばすチャンスはまずここにあるといっても良いのです。

だから、その対策を具体的に考える。

問題の条件だと思うところに線をひく。

答えを書く寸前に、もう一度問題文を読み直す。

計算は筆算をちゃんと書き、その場で見直す。

こういうことをひとつひとつルーティンとして決めて実行させることです。

正確率が高い、というのは慶應の入試では大きな強みになるので、しっかり分析と対策を施していきましょう。


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詰めの段階へ


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夏休みは算数の復習に力を入れる



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作業する問題

2017年の普通部の問題です。

図のように数がかいてある5種類のカードが2枚ずつ合計10枚あります。

これらから3枚を選び、その数を足します。
例えば3、5、5と選べば和は13になります。
このように足してできる数は全部で何通りありますか。


【解説と解答】
最小は11、最大は28です。そのうちできないものがないかを考えます。
11→3,3,5
12→3,3,6
13→5,5,3
14→3,3,8
15→3,6,6
16→5,5,6
17→3,6,8
18→5,5,8
19→3,6,10
21→5,6,10
22→6,6,10
23→5,8,10
24→6,8,10
25→5,10,10
26→8,8,10
27→できません
28→8,10,10

(答え)17通り

何かうまい方法があるか、と考えるよりも手が動いた方が早い、という問題ではあるかもしれません。
特に普通部の場合の数はそういう傾向が強いので、書き出すのを苦にしないことが大事です。


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暑さに対する対策


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覚えるのが嫌い



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長い夏休み

いえ、小学生の話ではありません。慶應諸学校の話。諸学校の夏休みは長いのです。

9月1日に2学期は始まらない。だいたい10日前後でしょうか。

近年、公立は土曜日が休みなので、夏休みが短縮されて8月の最後の週から学校が始まります。慶應は週6日なので、それがない。したがって、9月1日から始まらない。

これはある意味理にかなっているところがあります。なぜ夏休みがあるのか?暑くて勉強するのは大変だから。

だとすると9月1日は充分暑い。だったら、もう少し遅くから始まった方が良い、わけです。

だからといって部活は結構忙しく、家にはいないことが多いのです。

まあ、付属校だからこそ、のメリットのひとつでしょう。


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植物に関する問題


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式を書く習慣



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電熱線に関する問題

2016年慶應湘南理科1番です。

慶應で電気はあまり出題されることがない分野ですが、だからといって頻度が少ないだけであって、まあ、このくらいの計算問題は出題される可能性がありますから、基礎はしっかり理解しておきましょう。


図1のように、ビーカーに100gの水を入れ、電源装置につないだ電熱線を水につけました。そして、電流を流し始めてから1分ごとにビーカー内の水温を測定しました。この実験を種類の異なる電熱線A、Bについてそれぞれ行った結果、図2のグラフのようになりました。それぞれの実験では、電源装置の電圧および水の量は同じにし、水全体の温度が均一になるようにときどきかき混ぜました。また、電熱線に流れている電流は、電熱線Aには1.6A、電熱線Bには800mAでした。次の問いに答えなさい。

20160428k001

(問1)電熱線に流れる電流を測定するために、実験装置に電流計を加えたいと思います。電流計の一端子は3つあり、左側からそれぞれに50mA、500mA、5Aと書かれていました。一端子のつなぎ方として、正しいものを次の中から1つ選び、番号で答えなさい。
1 一番左側の-端子につなぎ、針のふれが大きすぎるときは順に右側の端子へとつないでいく。
2 一番右側の一端子につなぎ、針のふれが大きすぎるときは順に左側の端子へとつないでいく。
3 一番左側の一端子につなぎ、針のふれが小さすぎるときは順に右側の端子へとつないでいく。
4 一番右側の-端子につなぎ、針のふれが小さすぎるときは順に左側の端子へとつないでいく。
5 真ん中の一端子につなぎ、針のふれが大きすぎるときは右側の端子、小さすぎるときは左側の端子につなぐ。
6 真ん中の一端子につなぎ、針のふれが大きすぎるときは左側の端子、小さすぎるときは右側の端子につなぐ。

(問2)電熱線に流れる電流を測定するには、電流計をどのように接続すればよいですか。解答らんに接続のようすを線で記入しなさい。ただし、電流計の端子は矢印で示された端子を使用するものとします。
(解答用紙非公開のため解説は省略)

(問3)図2の結果からわかることとして、正しいものを次の中からすべて選び、解答らんの番号を○で囲みなさい。

1 水の温度上昇は、電熱線に流れる電流の強さに比例する。
2 水の温度上昇は、電熱線にかかる電圧の大きさに比例する。
3 水の温度上昇は、電流が流れた時間に比例する。
4 水の温度上昇は、水の量が少ないほど大きくなる。
5 水の温度上昇は、最初の水温が低いほど大きくなる。
6 電熱線にかかる電圧の大ききと、流れる電流の強さは比例する。

(問4)水の量を200gにして、Bの電熱線に1.6Aの電流が流れるように電圧を変化させたところ、4分間で4℃水温が上昇しました。図2の電熱線Bと比べたとき、同じ時間で何倍の熱エネルギーが発生していますか、答えなさい。

(問5)A、Bの電熱線を並列につなぎ、200gの水の中に入れました。電源装置の電圧を(問4)と同じにして、2分間電流を流したとき、水温は何℃上昇しますか、答えなさい。
【解説と解答】
(問1)流れる電流がわからないので、大きい順につなぎます。小さい場合はひとつ左に進みます。
(答え)4
(問2)解答用紙が非公開なので、どのような図を描けばよかったのかは不明ですが、電流計は直列に入れます。

(問3)
グラフが直線になり、右肩上がりになっていますから、時間と温度上昇は比例します。またAとBの比較から、AとBではAに2倍の電流が流れていますので、温度変化も2倍ですから1も正しいことになります。
(答え)1 3

(問4)グラフではBは100gの水に対して4分間で2℃温度が上昇しました。今度は200gの水に対して電流を2倍にしたところ4分間で4℃上昇しました。100gで2倍ですから、200gではあれば4倍になります。
(答え)4倍

(問5)Aは100gで2分間で2℃上昇しました。電流が2倍になるので4℃上昇します。Bは2分間で2℃上昇しますから、合計6℃上昇することになります。
(答え)6℃


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